급수의 수렴, 발산과 극한값 사이의 관계

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See also: Harmonic series (mathematics) and Direct_comparison_test

수열의 극한이 수렴하면, 해당 수열의 급수는 수렴할까요? 발산할까요?

수열의 부분합을 \(\textstyle \sum a_n = S_n\)으로 표시할 때, 만약 \(\lim a_n =3\)이면 \(\lim S_n\)은 수렴할까요?
먼저 \(\lim a_n =3\)는 \(n\rightarrow \infty\)일 때 \(a_n \rightarrow 3\)임을 의미하고, \(a_{n+1}=3, a_{n+2}=3, \cdots\)임을 의미합니다. 즉, 초반에 수열의 값이 무엇이었던지 상관없이, \(n\rightarrow \infty\)인 후에는 일정한 값 3을 가짐을 의미합니다.

\(\quad\)\(1,\;\; 2,\;\; 3,\; \cdots, n, n+1, n+2 \cdots\)

\(\quad\)\(a_1, a_2, a_3, \cdots, 3,\;\;\; 3,\quad\;\;\; 3, \cdots\)

이것은 단순히 개념을 표시하기 위한 것이며, 무한대는 어느 순간을 말하지는 않습니다. 그리고 무한대 이 후도 무한대로 표현할 수 밖에 없습니다. 이것은 급수가 앞에서 더해진 값에 상관없이 3의 값을 가진 후에는 전부 3의 값을 갖게 되므로, 3을 무한히 더하는 경우로 볼 수 있습니다.

\(\quad\)\(S_n=S_{n-1}+3+3+3+3+\cdots\)

그러므로 \(\lim a_n =3\)으로 수렴하면, 급수는 발산합니다. 이것은 적어도 급수가 수렴하기 위해서는 수열의 극한이 영에 수렴해야 함을 의미합니다. 즉,

\(\quad\)급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하면, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0\)으로 수렴합니다.

\(\quad\)그의 대우 명제, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\)이면, 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)은 발산합니다.

아직 해결되지 않은 질문이 남았습니다.

\(\quad\)만약 \(\lim a_n =0\)이면, 급수 \(\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)은 항상 수렴할까요?

이것은 거짓입니다. 급수가 수렴하기 위해서는 극한이 적어도 영이 되어야 하지만, 극한이 영이 된다고 해서 항상 수렴하지는 않습니다. 대표적인 대표적인 반대-예제는 조화급수입니다.

조화 급수의 발산을 증명하는 한 가지 방법은 조화급수를 다른 발산 급수와 비교하는 것입니다. 여기서 각 분모는 다음-가장 큰 이의 거듭제곱(power of two)으로 대체됩니다:

\(\quad\)\(\begin{align}
&{} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots \\[12pt]
>{} &1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} + \cdots
\end{align}\)

조화급수의 각 항은 두 번째 급수의 대응하는 항보다 크거나 또는 같고, 그러므로 조화급수의 합은 두 번째 급수의 합보다 반드시 큽니다. 어쨌든, 두 번째 급수의 합은 무한입니다:

\(\quad\)\(\begin{align}
&{} 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4}\!+\!\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8}\!+\!\frac{1}{8}\!+\!\frac{1}{8}\!+\!\frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16}\!+\!\cdots\!+\!\frac{1}{16}\right) + \cdots \\[12pt]
={} &1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty
\end{align}\)

물론 이것 외에도 \(b_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)와 같은 수열도 반대-예제에 속합니다.