직선의 방정식(평면벡터)

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평면 좌표에서, 직선의 방정식은, 먼저, 지나는 한 점과 기울기를 사용해서 표현했습니다.

한편, 벡터에서, 지나는 한 점은 원점으로부터의 위치벡터로 표현이 가능하고, 기울기의 개념은 주어진 점에서 직선이 나아가는 방향으로 대체될 수 있습니다.

위의 아이디어를 구체적으로 구현해 보자면, 다음과 같습니다.

평면 위의 임의의 한 점을 \(\mathrm{A}\)라고 놓고, 영벡터가 아닌 벡터 \(\vec{u}\)에 평행한 직선 \(l\) 위의 임의의 한 점을 \(\mathrm{P}\)라고 놓습니다. 이때, 두 벡터 \(\vec{\mathrm{AP}}\)와 \(\vec{u}\)는 평행이므로, 다음을 만족하는 어떤 실수 \(t\)가 존재해야 합니다.

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AP}} = t \vec{u}\)

이 식을, 그림에서 주어진, 위치벡터를 사용해서 나타내면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\vec{p} - \vec{a} = t\vec{u}\)

그런 다음, 구하려는 것이 임의의 점 \(\mathrm{P}\)의 자취이므로, 다음과 같이 식을 완성합니다.

\(\quad\)\(\vec{p} = \vec{a} + t\vec{u}\cdots(1)\)

여기서, \(\vec{u}\)는 방향벡터라고 불립니다.

역으로 식 (1)을 만족하는 벡터 \(\vec{p}\)를 위치벡터로 가지는 점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{A}\)를 지나고, 벡터 \(\vec{u}\)에 평행한 직선 \(l\) 위에 존재합니다.

이 벡터 식 자체는 직선의 방정식을 나타내지만, 그 자체를 잘 사용하지 않습니다. 왜냐하면, 위치벡터를 사용한다는 것은 직교 좌표 시스템을 도입했다는 것을 의미하므로, 스칼라 형태의 관계식, 대체로 함수를 통해서, 좌표(성분) 사이의 관계를 이용하는 것이 훨씬 조작할 수 있는 방법 등이 많기 때문입니다.

이를 위해서, 벡터를 성분으로 표시해서 스칼라 성분 사이의 관계식을 만들 필요가 있습니다.

지나는 한 점 \(\mathrm{A}\)의 위치벡터를 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)로 놓고, 벡터 \(\vec{u}=(a,b)\)에 평행한 직선을 \(l\)이라 할 때, 직선 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y)\)라고 하면, 식 (1)로부터

\(\quad\)\((x,y)=(x_1,y_1)+t(a,b)=(x_1+ta,y_1+tb)\)

벡터의 상등으로부터,

\(\quad\)\(\left\{
\begin{align}
x = x_1+tb \\
y = y_1+tb
\end{align}\right.\)

여기서 \(ab\neq 0\)일 때, \(t\)를 소거하면

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b}\cdots(2)\)

식 (2)는 \(x,y\)-좌표 사이의 일차 관계식이므로 직선의 방정식입니다.

한편, \(ab=0\)이면, 식 (2)를 이용할 수 없으므로, 별도로 생각해야 합니다.

먼저, \(a=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(0,b)\), 즉 \(y\)-축과 평행하므로,

\(\quad\)\(x=x_1\).

다음으로, \(b=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(a,0)\), 즉 \(x\)-축과 평행하므로,

\(\quad\)\(y=y_1\).

두 점을 지나는 직선의 방정식

직선의 방정식에서도 한 점과 기울기가 주어진 경우를 가장 먼저 배우고, 다음으로 두 점을 지나는 직선의 방정식을 배웠습니다.

마찬가지로, 벡터에서도 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도할 수 있습니다.

지나는 점은 두 개가 있기 때문에, 기울기의 개념에 해당하는 방향벡터를 알면 벡터로 직선의 방정식을 표현할 수 있습니다.

그림에서는 방향벡터를 별도로 표현했지만, 방향벡터 \(\vec{u}\)는 두 점을 시작점과 끝점으로 하는 벡터 \(\vec{\mathrm{AB}}\)와 평행하므로, 이 벡터를 방향벡터로 사용할 수 있습니다.

따라서, \(x_1 \neq x_2, y_1 \neq y_2\)이면 두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2)\)를 지나는 직선의 방정식은

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\).

한편, \(x_1 =x_2\)이면, 직선의 방정식은

\(\quad\)\(x=x_1\).

다음으로, \(y_1 =y_2\)이면, 직선의 방정식은

\(\quad\)\(y=y_1\).

한편, 비록 방향벡터를 \(\vec{\mathrm{BA}}\)로 정할지라도, 직선의 방정식은 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\).

이 식의 양쪽 변에 –1을 곱하면, 그전에 얻었던 식과 동일합니다.

또한, 지나는 한 점을 \(\mathrm{B}\)라고 두어도 같은 식을 얻습니다.

벡터에 수직인 직선의 방정식

곡선 위의 한 점에서 접선은 유일하게 하나로 정해지는데, 이 점을 지나면서 접선에 수직인 직선을 법선이라고 부릅니다. 

또한, 어떤 직선과 그 직선에 수직인 직선은 두 직선의 비-영인 기울기의 곱이 –1입니다. 한편, 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직이면, 두 벡터의 점 곱이 0입니다.

한편, 평면에서, 어떤 벡터에 수직인 직선은 무수히 많은데, 특정한 한 점을 지나면서 벡터에 수직인 직선은 유일하게 하나로 결정됩니다. 물론, 두 벡터의 수직 관계로부터 방향벡터를 구해서, 직선의 방정식을 구할 수도 있지만, 번거롭습니다.

어쨌든, 방향벡터에 수직인 이 벡터를 법선벡터라고 부르는데, 법선벡터 그 자체를 이용해서 직선의 방정식을 결정할 수 있습니다. 

평면 위의 임의의 한 점을 \(\mathrm{A}\)라고 놓고, 영벡터가 아닌 벡터 \(\vec{n}\)에 수직인 직선 \(l\) 위의 임의의 한 점을 \(\mathrm{P}\)라고 놓습니다. 이때, 두 벡터 \(\vec{\mathrm{AP}}\)와 \(\vec{n}\)은 수직이므로, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n} = 0\)

이 식을, 그림에서 주어진, 위치벡터를 사용해서 나타내면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0\cdots(3)\)

역으로, 식 (3)을 만족하는 벡터 \(\vec{p}\)를 위치벡터로 가지는 점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{A}\)를 지나고, 벡터 \(\vec{n}\)에 수직인 직선 \(l\) 위에 존재합니다.
식 (3)을 전개해서 \(\vec{p}\)로 나타내지는 않는데, 왜냐하면, 벡터는 역수, 즉, 나눗셈에 대한 정의가 없기 때문입니다.

이제, 벡터의 성분을 사용해서, 성분 사이의 관계식을 만들면 다음과 같습니다.

지나는 한 점 \(\mathrm{A}\)의 위치벡터를 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)로 놓고, 벡터 \(\vec{n}=(a,b)\)에 수직인 직선을 \(l\)이라 할 때, 직선 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y)\)라 하면, 식 (3)으로부터

\(\quad\)\((x-x_1,y-y_1) \cdot (a,b)=0\).

점 곱의 정의로부터,

\(\quad\)\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\cdots(4)\).

식 (4)에서 \(a=0\)이면, 법선벡터가 \((0,b)\), 즉, \(y\)-축에 평행하므로, 수직인 직선은 \(x\)-축에 평행하고, \((x_1,y_1)\)을 지나므로, \(y=y_1\)입니다.

또한, \(b=0\)이면, 법선벡터가 \((a,0)\), 즉, \(x\)-축에 평행하므로, 수직인 직선은 \(y\)-축에 평행하고, \((x_1,y_1)\)을 지나므로, \(x=x_1\)입니다.

두 직선이 이루는 각의 크기

두 직선이 이루는 각의 크기는 두 직선의 방향벡터들이 이루는 각의 크기와 연관성이 있습니다. 

일반적으로 두 직선이 이루는 각도는 90도 보다 작지만, 두 벡터가 이루는 각도는, 서로 반대방향일 때, 180도가 될 수 있습니다.

예를 들어, 그림에서, 두 방향벡터가 \(\vec{u_1}\), \(\vec{u_2}\)의 위치관계이면, 두 직선이 이루는 각도와 두 방향벡터가 이루는 각도, \(\theta\)는 서로 같습니다.

그러나, 두 방향벡터가 \(\vec{u_1}\), \(\vec{u_3}\)의 위치관계이면, 두 직선이 이루는 각도, \(\theta\)와 두 방향벡터가 이루는 각도, \(\phi\)는 서로 다르고, \(\theta=\pi-\phi\)의 관계에 있습니다.

한편, 코사인은 예각에서 양의 값이고, 둔각이면 음의 값을 가지고, 게다가, 각도가 \(\pi\)보다 작은 두 각도의 크기의 합이 \(\pi\)이면, 예를 들어, 30도와 150도, 10도와 170도의 코사인의 절댓값은 서로 같습니다.

다시 말해서, 그림에서, 두 각도 중에 예각을 구하고 싶으면, 코사인의 절댓값을 양수로 만들어서 계산해야 합니다.
두 벡터의 위치 관계에서 두 위치벡터가 이루는 각도는 이미 배웠습니다.

두 직선 \(l_1,l_2\)의 방향벡터

\(\quad\)\(\vec{u_1}=(a_1,b_1),\;\vec{u_2}=(a_2,b_2)\)

에 대해, 

\(\quad\)\(\vec{u_1}\cdot \vec{u_2} = |\vec{u_1}|\, |\vec{u_2}| \cos \phi \cdots(5)\)

을 항상 만족하므로,

두 직선이 이루는 각도, 즉 예각은 모든 계수를 양수로 만들어서 계산될 수 있습니다.

\(\quad\)\(|\vec{u_1}\cdot \vec{u_2}| = |\vec{u_1}|\, |\vec{u_2}| \cos \theta\cdots(6)\)

식 (5)에서, \(\phi\)는 둔각이 될 수 있지만, 식 (6)에서 \(\theta\)는 항상 예각입니다.
두 방향벡터가 아닌 두 법선벡터를 알고 있을 때에는, 위의 논리는 완전히 동일합니다.

그러나, 한 직선의 방향벡터와 다른 직선의 법선벡터를 알고 있을 때에는, 조금 다릅니다.

만약 방향벡터와 법선벡터 사이의 각도 \(\phi\)가

• \(\displaystyle 0 \le \phi_1 < \frac{\pi}{2} \)이면, 두 직선이 이루는 각도는 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}-\phi_1\)입니다.
• \(\displaystyle \frac{\pi}{2}< \phi_2 < \pi\)이면, 두 직선이 이루는 각도는 \(\displaystyle \theta = \phi_2 - \frac{\pi}{2}\)입니다.

여기서, \(\phi_1, \phi_2\)는, 그림과 같이 방향벡터와 법선이 이루는 각도이고, \(\theta\)는 두 직선이 이루는 각도입니다.

두 직선의 평행과 수직

두 직선의 위치 관계에서, 평행과 수직일 조건에 대해 알아보았습니다.

두 직선 \(l_1,l_2\)의 방향벡터가 각각 \(\vec{u_1}=(a_1,b_1)\), \(\vec{u_2}=(a_2,b_2)\)일 때, 방향벡터의 성분 사이의 관계로 두 직선의 평행과 수직의 조건을 만들 수 있습니다. 

먼저, 두 직선이 평행하면, 두 직선의 방향벡터가 평행합니다.

따라서, 0이 아닌 실수 \(t\)에 대해 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\vec{u_1}=t\vec{u_2}\)

성분을 대입해서, 성분 사이의 관계

\(\quad\)\((a_1,b_1)=t(a_2,b_2)\)

로부터, \(t\)로 정리한 식이 서로 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)

여기서, 분모는 0이 될 수 없고, 분모가 0일 때에는 축에 평행한 직선이므로, 자명하게 알 수 있습니다.

이 식은 비례식 형태로 다시 쓰일 수 있습니다:

\(\quad\)\(a_1:a_2=b_1:b_2\) 또는 \(a_1:b_1=a_2:b_2\)

다음으로, 두 직선이 수직이면, 두 방향벡터도 서로 수직입니다.

따라서,

\(\quad\)\(\vec{u_1}\cdot \vec{u_2}=0\)

이고, 성분을 대입해서,

\(\quad\)\((a_1,b_1)\cdot(a_2, b_2)=0\) 또는 \(a_1a_2+b_1b_2=0\)
한편, 이 논리는 두 직선의 법선벡터를 각각 알고 있을 때, 동일하게 적용 가능합니다.
반면에, 한 직선은 방향벡터 다른 직선은 법선벡터를 알고 있을 때, 서로 논리가 반대가 됩니다.

직선 \(l_1\)의 방향벡터가 \(\vec{u_1}=(a_1,b_1)\)이고, 직선 \(l_2\)의 법선벡터가  \(\vec{n_2}=(a_2,b_2)\)일 때,

두 직선이 평행하면,

\(\quad\)\(\vec{u_1}\cdot \vec{n_2} = 0 \)

두 직선이 수직이면, 0이 아닌 실수 \(t\)에 대해,

\(\quad\)\(\vec{u_1}= t \vec{n_2}\)