정적분

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Main article: Integral

구분구적법에서, 주어진 구간에서 함수(곡선)와 \(x\)-축 사이의 넓이를 구하는 방법을 알아보았습니다. 이 방법은 함수를 바꾸는 것은 물론, 같은 함수라고 하더라도 구간을 바꾸거나, 어떤 함숫값(높이)을 사용하는지에 따라 식을 다르게 세워야 하는 문제점이 있습니다.

한편, 우리가 주어진 점에서 접선의 기울기를 구하기 위해, 순간변화율을 이용할 수 있습니다. 그러나, 주어진 점의 위치(좌표)가 바뀌면, 매번 순간변화율을 계산해야 합니다. 이런 불합리한 부분을 제거하기 위해, 임의의 점에서 도함수를 구해둔 후에, 좌표가 바뀌더라도, 대입이라는 간단한 방법을 통해서 접선의 기울기를 구할 수 있습니다. 또한, 도함수를 정의 식에 대입해서 구하지 않고, 자주 사용하는 함수의 미분 결과를 미리 구해 둔 후에, 공식으로부터 도함수를 바로 구해서 사용했습니다.

정적분은, 구분구적법에서의 문제점을 극복하기 위해, 부정적분으로부터 정적분의 값을 구하고, 그것으로부터 넓이를 구하는 방법입니다.

먼저, 구분구적법을 이용해서 넓이를 구하는 과정을 일반적인 함수 표현식에 적용해 보고자 합니다.

다시 말해서, 함수 \(y=f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속이고, \(f(x) \ge 0\)일 때, 구간에서 함수 \(y=f(x)\)와 \(x\)-축 사이로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구분구적법으로 구하려고 합니다.

구간 \([a, b]\)를 \(n\) 등분하여 다음과 같이 표현합니다.

\(\quad\)\(x_0(=a),\;x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_{n-1},\;x_n(=b)\)

밑변에 해당하는 각각의 소구간의 길이를 \(\Delta x\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \Delta x =\frac{b-a}{n}\)

높이에 해당하는 함숫값은 오른쪽의 \(n\) 개를 선택합니다.

\(\quad\)\(f(x_1),\;f(x_2),\;\cdots,\;f(x_n)\)

따라서, 직사각형들의 넓이의 합, \(S_n\)은

\(\quad\)\(\begin{align}
S_n & =f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x \\
& = \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x  \\
\end{align}\)

이때, \(n \to \infty\)이면 \(S_n\)은 구하려는 넓이 \(S\)에 한없이 가까워집니다. 즉,

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x = S\)

이 극한값을 함수 \(y=f(x)\)의 구간 \(a, b]\)에 대한 정적분이라 하고, 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)

이때, 구간 \([a, b]\)는 적분 구간, \(a\)는 아래끝, \(b\)는 위끝, \(x\)는 적분변수라고 합니다.

정적분의 정의

함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 다음 극한값을 함수 \(f(x)\)의  \(a\)에서 \(b\)까지의 정적분이라고 합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\)

여기서 \(\Delta x = \frac{b-a}{n},\;x_k=a+k\Delta x\)입니다.

물론, 왼쪽 \(n\) 개의 함숫값을 이용해서 정의할 수도 있습니다. 즉,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x\)

이 기사는 구분구적법을 정적분으로 나타내는 과정을 설명했으며, 정적분의 계산을 어떻게 하는지는 설명되지 않았습니다. 미적분의 기본 정리를 참고하십시오.

응용예제

응용예제1

함수 \(f(x)=\pi \sin 2\pi x\)에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고 치역이 집합 \(\{0,1\}\)인 함수 \(g(x)\)와 자연수 \(n\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(n\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 가형 20번]

함수 \(h(x)=f(nx)g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이고

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{-1}^1 h(x)dx=2,\;\;\int_{-1}^1 xh(x)dx=-\frac{1}{32}\)

이다.

응용예제2

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다

\(\quad\)(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 : \(\displaystyle \int_1^x f(t)dt = \frac{x-1}{2}\left\{f(x)+f(1)\right\}\)이다.

\(\quad\)(나) \(\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 5\int_{-1}^1 xf(x)dx \)

\(f(0)=1\)일 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오. [4점] [2020학년도 수능 나형 28번]

응용예제3

\(x>0\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)가 모든 양수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle 2f(x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\)

을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 f(x)dx\)의 값은? [4점] [2019학년도 수능 가형 16번]

응용예제4

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 

\(\quad\)(ㄱ) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)=f(x-3)+4\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \int_0^6 f(x)dx = 0\)

함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=6,\;x=9\)로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] [2019학년도_수능_나형_17번]

응용예제5

양수 \(a\)와 최고차항의 계수가 3인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle F(x)=\int_{-a}^{x}f(t)dt\)라 하자. 방정식 \(f(x)F(x)=0\)의 서로 다른 세 실근이 \(-a,0,a\)뿐이고 \(F(a)=2a\)일 때, \(F(0)\)의 값은?