부정적분

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Main article: Antiderivative

미적분학에서 적분의 개념이 먼저 나왔음에도 불구하고, 미-적분학으로 이름 짓는 이유는 미분에 대한 정의는 식으로 표현하지만, 적분에 대한 정의는 식으로 표현하지 않기 때문인 것으로 추정됩니다.

적분은 미분의 역과정으로써, 역도함수(antiderivative), 원시 함수(primitive function), 원시 적분(primitive integral) 또는 부정 적분(indefinite integral)으로 불립니다.

여기서, 역도함수가 보다 적분의 의미를 잘 표현하고 있지만, 적분이 단순히 역도함수를 구하는 것만은 아니기 때문에, 적분 자체를 강조하기 위해 부정적분이라는 용어를 교과서에서 선택한 것으로 보입니다.

단어 부정은 일차방정식에서 해가 무수히 많은 경우에 해당하는 용어와 같은 의미로 사용됩니다. 만약 어떤 함수를 미분했을 때 결과가 \(2x\)라고 하면, 어떤 함수는 \(x^2+C\) (\(C\)는 실수 상수)와 같은 결과를 가집니다. 즉, 상수항은 미분하면 0이 되므로, 미분의 결과로 주어진 식에서, 원래 함수를 찾는 적분 과정은 그의 상수를 하나로 결정할 수 없기 때문에, 임의의 상수 \(C\)로 나타냅니다.

어떤 함수 \(f(x)\)의 도함수를 \(f'(x)\)라고 표현합니다. 반면에, 함수 \(f(x)\)의 부정적분은 다음과 같이 표현합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C\cdots(1)\)

여기서 의문이 생길 수 있습니다. 함수 \(f'(x)\)의 도함수를 \(f''(x)\) 등으로 나타낼 수 있습니다. 마찬가지로 함수 \(\displaystyle \int f(x)dx\)의 부정적분은, 변수에 따라 다르겠지만 예를 들어, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \iint_\mathbf{D} f(x_1,x_2)\, dx_1\, dx_2 \)

이 설명은 식 (1)의 오른쪽의 표기법은 아무 의미가 없음을 보여주기 위함입니다. 즉, 어떤 함수가 비록 소문자 \(f(x)\)로 표현했을지라도, 그의 부정적분이 항상 대문자 \(F(x)\)로 표현되지는 않는다는 것입니다. 단지, 설명을 위해 표현된 것일 뿐으로써, 대문자에 해당하는 함수를 부정적분하면, 대-대문자 같은 것은 없기 때문입니다.

한편, 가장 많이 다루었던 다항함수는 도함수를 구하면, 보통 차수가 낮아지고, 적분하면 차수가 높아집니다. 따라서, 차수가 커진다는 의미를 함수의 소문자를 대문자로 바꾼 것으로 이해해도 좋겠습니다.

도함수와 역도함수의 관계

비-영의 숫자와 그 곱셈에 대한 역수는 순서에 상관없이 곱하면 1의 결과를 낳습니다. 즉, 비-영의 숫자, \(a\)에 대해,

\(\quad\)\(\displaystyle a\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a = 1\)

한편, 도함수와 역도함수는 서로 역과정인 것은 맞습니다. 그러나, 숫자에서의 역수와는 조금 다른 결과를 낳습니다.

먼저, 그의 부정적분 중의 하나를 \(F(x)\)로 갖는 함수 \(f(x)\)에 대해, 적분을 먼저 하고, 그 결과를 미분한 식은

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left\{\int f(x)dx\right\}=\frac{d}{dx}\left\{F(x)+C\right\}=F'(x)+C'=f(x)\)

반면에, 미분을 먼저 수행하고, 그 결과를 적분한 식은

\(\quad\)\(\displaystyle \int \left\{\frac{d}{dx}f(x)\right\}dx=\int f'(x)dx=f(x)+C\)

두 결과를 비교하면, 서로 역과정인 것은 맞지만, 적분을 나중에 수행하면, 그의 상수항은 ''알 수 없는 값''으로 바뀌기 때문에, 그것을 구할 수 있는 조건이 없으면, 값을 결정할 수 없습니다.

부정적분의 성질

도함수는 극한의 일종이지만, 함수의 극한의 성질에서 보이는 5가지 성질, 즉, 실수배, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두가 성립하지는 않고, 다항함수의 미분법에서 보이듯이, 그중에서 실수배, 덧셈, 뺄셈의 3가지만 성립합니다.

한편, 합계#시그마의 기본 성질에서 실수배, 덧셈, 뺄셈의 성질을 가짐을 볼 수 있었습니다.

이제 부정적분의 성질에 대해 소개하고자 합니다. 

두 함수 \(f(x),\;g(x)\)의 부정적분 중 하나를 각각 \(F(x),\;G(x)\)라고 하면

첫 번째, 실수 상수 \(k\)에 대해

\(\quad\)\(\left\{kF(x)\right\}'=kF'(x)=kf(x)\)이므로

\(\quad\)\(\begin{align}
\int kf(x)dx & = kF(x)+ C_1 \\
& = kF(x)+ kC \\
& = k(F(x)+C) \\
& = k\int f(x)dx
\end{align}\)

여기서, 적분 상수가 이상해 보일 수 있는데, 전혀 이상하지 않습니다. 어차피 적분 상수는, 다른 조건이 없으면, 결정할 수 없는 값이기 때문에, \(C_1=kC\)와 같이 변경해도 전혀 문제가 되지 않습니다. 즉, ''모르는 숫자''에 실수배를 하더라도 ''모르는 숫자''이긴 마찬가지입니다.

두 번째, 덧셈에 대해,

\(\quad\)\(\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)\)이므로,

\(\quad\)\(\int \left\{f(x)+g(x)\right\}dx=F(x)+G(x)+C=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)

세 번째, 뺄셈에 대해,

\(\quad\)\(\left\{F(x)-G(x)\right\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-g(x)\)이므로,

\(\quad\)\(\int \left\{f(x)-g(x)\right\}dx=F(x)-G(x)+C=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)

여기서 의문이 생깁니다. 미분은 극한의 일종인데, 극한의 5가지 성질이 모두 성립하지 않고, 3가지 성질만 성립하는 것이 조금 이상해 보입니다.

나중에 소개하는 구분구적법은 합계의 극한으로 표현되고, 이것이 정적분으로 바뀝니다.

그러므로, 적분은 합계의 극한으로 볼 수 있고, 수학에서, 두 개가 연속적으로 발생하면, 그의 성질이 작은 쪽에 영향을 받습니다. 따라서, 적분의 성질은 합계의 성질에 따라, 실수배, 덧셈, 뺄셈, 3가지로 이루어집니다.

더구나, 미분과 적분은 역과정에 해당하므로, 미분 또한, 극한의 성질을 따르지 않고, 합계의 성질, 실수배, 덧셈, 뺄셈만을 가지게 됩니다.

다항함수의 부정적분

도함수#다항함수의 도함수에서, 다항함수의 기본꼴

\(\quad\)\(y=x^n\;\;\) (\(n\)는 자연수)

의 미분은

\(\quad\)\(y'=nx^{n-1}\)

따라서, 다항함수의 기본꼴

\(\quad\)\(y=x^n\;\;\) (\(n\)는 자연수)

의 부정적분은

\(\quad\)\(\displaystyle \int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C\)

여기서 \(C\)는 적분상수입니다.

게다가, 부정적분은 실수배, 덧셈, 뺄셈의 성질을 가지므로, 각각의 항을 별도로 부정적분할 수 있고, 적분상수는 1개로 통합해서 적을 수 있습니다.

예를 들어,

\(\quad\)\(\begin{align}
\int (5x^3-3x^2-2)dx & =5\int x^3 dx-3\int x^2 dx-2 \int dx \\
& = \frac{5}{4}x^4-x^3-2x+C \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

\(x>0\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=2-\frac{3}{x^2},\; f(1)=5\)

이다. \(x<0\)에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(-3)\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 가형 15번]

\(\quad\)(ㄱ) \(x<0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x)=f'(-x)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(f(2)+g(-2)=9\)

응용예제2

실수 \(a\;(a>1)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를

\(\quad\)\(f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)\)

라 하자. 함수

\(\quad\)\(\displaystyle g(x)=x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2f(t)dt\)

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\)의 최댓값은 [4점] [2021학년도 수능 나형 20번]

응용예제3

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle \int_1^x \left\{\frac{d}{dx}f(t)\right\}dt = x^3+ax^2=2\)

를 만족시킬 때, \(f'(a)\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.) [4점] [2019학년도 수능 나형 14번]