극한값의 계산

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/극한값의_계산

See also: Limit (mathematics) and Limit of a sequence

일반적으로 수열의 극한에 대해 다음과 같은 성질이 성립합니다.

수렴하는 두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha,\; \lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)일 때, 다음이 성립합니다:

• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c a_n =  c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n = c \alpha\)
• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) =  \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha \pm \beta\)
• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) =  (\lim_{n\to\infty} a_n)\cdot( \lim_{n\to\infty} b_n)=\alpha \beta\)
• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0, \beta \ne 0\)일 때, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\)
• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n^p =  \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p=\alpha^p\)

이 식들은 두 수열이 수렴할 때, 그 수렴의 결과를 알 수 있으며, 수렴한다는 가정이 없을 때에는 수렴하지 않는 수열을 포함하기 때문에, 위의 성질이 성립할지 여부는 알 수 없습니다.

예를 들어, \(\textstyle a_n=n+\frac{1}{n}, b_n=(-n)+\frac{1}{n}\)이면, \(\textstyle a_n, b_n\)은 각각 발산하지만, \(\textstyle a_n+b_n=\frac{2}{n}\)이므로 영으로 수렴합니다.

무한대의 몫에 대한 극한

수열의 극한에서 자명한 경우가 있습니다. 즉, 

• 실수 \(k \neq 0\)일 때, \(\frac{\infty}{k}\)이면 그의 절댓값이 무한대이므로 발산합니다.
• 실수 \(k\)일 때, \(\frac{k}{\infty}\)이면, 영으로 수렴합니다.

그러나, \(\frac{\infty}{\infty}\)인 경우는 수렴할까요? 발산할까요? 간혹, 이 값이 1이라고 생각하시는 분들도 있고, 물론 그런 경우도 포함합니다. 어쨌든, 무한대는 값이 점점 커지고 있다는 것을 나타낼 뿐이므로, 예를 들어, \(n \to \infty\), \(2n \to \infty\), \(n^2 \to \infty\), \(2^n \to \infty\), 등은 단지 \(\infty\)로 표현할 수 있기 때문입니다.

따라서 \(\frac{\infty}{\infty}\)의 극한은 분모와 분자의 형태에 따라 수렴 여부를 결정할 수 있습니다. 만약 분모, 분자가 다항식인 다음 예제

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2n^2-3n+4}{3n^2+4n+5}\)

은 분모와 분자 중에 최고 차수에 대해 그의 최고차의 계수가 1인 단항식으로 나눔으로써 쉽게 극한을 결정할 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \textstyle  \frac{2-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}}{3+\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2}}=\displaystyle \frac{2}{3}\)

여기서, 왜 분모 분자의 최고 차수로 나눌까요? 그것은 우리가 알고 있는 모양을 만들기 위함입니다. 즉, 위의 자명한 사실의 모양이 되어야 극한을 결정할 수 있기 때문입니다.

또 다른 형태의 해석은 무한대의 성질을 이용하는 것입니다. 극한에서는, \(n \to \infty\)이기 때문에, 분자와 분모 각각에 대해 최고차 항만이 의미가 있습니다. 왜냐하면,

\(\quad\)\(2n^2-3n+4 \rightarrow 2n^2-3n \rightarrow n(2n-3) \rightarrow n(2n) \rightarrow 2n^2\)

와 같이 생각할 수 있기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 생각해도 좋겠습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2n^2-3n+4}{3n^2+4n+5}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n^2}{3n^2}=\frac{2}{3}\)

무한대 사이의 차이에 대한 극한

무한대 사이 \(\infty - \infty\)의 차이도 위와 마찬가지로 항들의 형태를 보고 결정할 수 있습니다.

자명한 경우가 있습니다. 다항식에서 차수가 다른 경우, 예를 들어 \(n^2-n\)는 이미 위에서 논의한 것처럼 최고 차수만이 남습니다. 그러나 차수가 같을 경우에는 자명하지 않습니다. 예를 들어,

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\)

의 형태는 제곱근 안의 1을 무시할 수 있을까요? 아니면, 

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}\right)\)

의 형태에서 제곱근 안의 일차는 무시할 수 있을까요?

판단하기가 쉽지 않습니다!!

어쨌든, 주어진 식 자체에서 극한을 판단하기 어려울 때에는, 산술 조작을 통해서, 이미 알고 있는 모양으로 바꾸어서 극한값을 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}=0\)

아래의 극한은 다음처럼 변형할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}\right)\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}\right)\left(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}\right)}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}=1\)

극한의 대소 관계

일반적으로 수렴하는 수열의 극한에 대해, 다음과 같은 성질이 있습니다.

• 만약 어떤 \(N\)보다 더 큰 모든 \(n\)에 대해 \(a_n \leq b_n\)이면, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n \)입니다.
• (샌드위치 정리) 만약 모든 \(n > N\)에 대해 \(a_n \leq c_n \leq b_n\)이고, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L\)이면, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L\)입니다.

첫 번째 대소 관계는 다음과 같은 수열을 보면 쉽게 이해가 되는데, 앞 쪽의 부등식에서 등호가 없는 명제도 참입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle a_n=\frac{n+2}{n+1}, b_n=\frac{n+3}{n+1}\)

비록 각 \(n\)의 값에 따라 \(b_n\)이 \(a_n\)보다 항상 크더라도, 그의 극한은 서로 같습니다.

두 번째 대소 관계는, 비록 일반항이 알려지지 않은 수열이 있을지라도, 그의 항의 변화가 어떤 수열 사이에 존재하고, 양쪽 수열의 극한이 서로 같으면, 모르는 수열의 극한도 같음을 나타냅니다. 예를 들어, 어떤 수열 \(a_n\)이 다음 관계를 만족하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{n-2}{2n}<a_n<\frac{n+2}{2n}\)

수열 \(a_n\)의 극한은 \(\frac12\)입니다.