공간에서의 점의 좌표

하나의 실숫값은 수직선 위의 한 점과 일대일대응을 이룹니다.

두 실수의 순서쌍은 좌표평면 위의 한 점과 일대일대응을 이루며, 이때 두 축은 원점에서 서로 수직으로 만나는데, 이를 이-차원 직교 좌표 시스템이라고 합니다.

삼-차원 공간에서, 좌표 시스템은, 이-차원 공간을 확장해서, 세 축이 서로 원점에서 수직으로 만나는 삼-차원 직교 좌표 시스템을 사용하고, 공간 안의 한 점은 세 쌍의 튜플로 나타냅니다.

이때, 이-차원 좌표 평면에서 새로운 세 번째 축은 오른-손 법칙에 따라 그의 (양의) 방향을 결정합니다.

여기서, \(x,y\)-축을 포함하는 평면은 \(xy\)-평면, \(y,z\)-축을 포함하는 평면은 \(yz\)-평면, \(z,x\)-축을 포함하는 평면은 \(zx\)-평면이라고 합니다.

공간의 한 점 \(\mathrm{P}(a,b,c)\)에 대해, \(a\)는 원점으로부터 \(x\)-축을 따라 측정된 (방향화된) 거리, 또는 \(yz\)-평면으로부터 측정된 (방향화된) 거리와 같습니다. 또한, 나머지 두 값은 동일한 방법으로 측정이 가능합니다.

이때, \(x\)-축에 수선의 발을 내리면, 그 축이 아닌 값은 0이 되어, \((a,0,0)\)로 나타내고, 나머지 두 축에 대해서도 같은 방법으로 표현할 수 있습니다.

게다가, \(xy\)-평면에 수선의 발을 내리면, 그 평면에 있지 않은 \(z\)-좌표는 0이 되어 \((a,b,0)\)으로 나타내고, 나머지 평면에 대해서도 같은 방법으로 표현할 수 있습니다.

한편, 대칭이동은, 이-차원 평면에서 사용했던, 축에 대한 대칭이동을 포함하고, 추가적으로 평면에 대한 대칭이동을 생각할 수 있습니다.

\(x\)-축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((a,-b,-c)\) : \(x\)-축을 따라 측정하는 방향이 바뀌지 않으므로 부호가 그대로이고, 다른 값은 그의 방향이 반대로 바뀌기 때문에 부호가 반대로 바뀝니다.
\(y\)-축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((-a,b,-c)\)
\(z\)-축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((-a,-b,c)\)
\(xy\)-평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((a,b,-c)\) : \(xy\)-평면의 수선의 발에 대한 방향이 반대로 바뀌므로, \(z\)-축을 따라 측정한 값의 부호가 바뀌고 나머지 값은 부호가 그대로 유지됩니다.
\(yz\)-평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((-a,b,c)\)
\(zx\)-평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표: \((a,-b,c)\)

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