합의 법칙

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경우의 수에서 합의 법칙은, 만약 같은 물건이 없으면 집합의 연산에서 합집합의 원소의 개수를 구하는 것과 같습니다. 그렇기 때문에 교집합이 있는지 없는지 여부가 결과에 절대적 영향을 미칩니다. 그렇기 때문에 경우의 수에서도 공통된 결과가 있는지 없는지를 반드시 먼저 확인을 해야 합니다. 한편, 집합은 같은 원소를 두 번이상 쓸 수 없지만, 경우의 수에서는 문맥에 따라, 예를 들어, 중복을 허락하여 등은, 같은 것이 2개 이상 있을 수 있기 때문에, 이런 경우에는, 특히 유의해야 합니다.

예를 들어, 정육면체의 공정한 주사위에 1~6까지 숫자가 하나씩 적혀 있을 때, 이 주사위를 두 번 던졌을 때, 그 눈의 합이 4 또는 7이 되는 경우의 수를 구해 보십시오.

같은 주사위를 여러 번 던질 때에는, 첫 번째 던짐, 두 번째 던짐과 같이 순서가 발생합니다. 이때 사용하는 것이 순서쌍입니다. 즉, 첫 번째 결과를 앞에 적고 두 번째 결과를 뒤에 적습니다.

• 합이 4인 경우

(1,3), (2,2), (3,1)

• 합이 7인 경우

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

결과에서 같은 것이 없기 때문에, 경우의 수는 3+6=9 가지입니다.

또한, 서로 다른 주사위 (또는 구별이 되는 주사위, 또는 빨간색, 파란색 주사위) 2개를 동시에 던졌을 때, 눈의 합이 4 또는 7이 되는 경우의 수를 구하십시요? 이 질문에 대한 답도 위의 경우와 같습니다. 왜냐하면, 두 주사위는 구별이 되기 때문입니다.

반면에, 서로 구별이 되지 않는 (또는 서로 같은 또는 같은 크기의 같은 색깔의) 두 주사위를 동시에 던졌을 때, 눈의 합이 4 또는 7이 되는 경우의 수를 구하십시요? 이 결과는 위의 두 가지 경우와 다릅니다. 위에서 순서 또는 색깔로 구별이 되던 것이 더 이상 구별이 되지 않습니다. 즉, (1,3)과 (3,1), 그리고, (1,6)과 (6,1), 그리고 (2,5)과 (5,2), 그리고 (3,4)와 (4,3)은 더 이상 순서에 의해 구별이 되지 않습니다. 그렇기 때문에 구성하는 숫자가 완전히 다른 (1,3), (2,2), (1,6), (2,5), (3,4)의 5가지 경우를 가집니다.

다른 예제로 1에서 100까지의 자연수 중에서 2 또는 3의 배수가 되는 숫자의 경우의 수를 구하십시요? 개수가 조금 많아지면, 개별적으로 각 경우를 셀 수 없기 때문에 규칙성으로부터 경우를 세어야 합니다.

• 2의 배수

2, 4, 6, 8, ..., 100 이렇게 표현하는 것보다는

2×1, 2×2, 2×3, 2×4, ..., 2×50 이렇게 표현하는 것이 조금 더 경우의 수를 발견하는 것이 쉽습니다.

• 3의 배수

3×1, 3×2, 3×3, 3×4, ..., 3×33

이 경우에는 중복이 되는 경우가 있습니다. 즉 6의 배수입니다.

6×1, 6×2, 6×3, ..., 6×16

그러므로, 50+33-16=67이 정답입니다.

한편, 같은 예제에서 2 또는 3으로 나누어떨어지지 않는 숫자의 경우의 수를 구해 볼까요?

1, 5, 7, 11, 13, ..., 97 규칙성이 보이나요?

이럴 경우에 이용하는 것이 여사건의 경우의 수입니다. 전체 경우의 수에서 2 또는 3의 배수의 경우의 수를 제외한 것으로 접근할 수 있습니다. 100-67=33이 정답입니다.