상용로그

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/상용로그

See also: Common logarithm

우리가 실생활에서 사용하는 숫자는 십진수 시스템을 사용합니다. 보통 로그는 밑수에 따라, 예를 들어 밑수를 2를 사용하면, 이진 로그, 3을 사용하면 삼진 로그와 같은 방식으로 부를 수 있습니다. 그렇지만, 특별한 경우에 대해서는 별도의 이름을 가집니다. 대표적인 것으로는 밑수가 e일 때, 자연 로그라고 부르고, 밑수가 10인 경우에는 십진 로그, 또는 보다 일반적으로 상용 로그라고 부릅니다.

우리가 십진수를 계산에 사용하기 때문에, 이를 상용 로그라고 부를 뿐이지 특별히 다른 기능을 갖는 것은 아닙니다. 그리고 수학에서 자주 사용하는 것은 생략을 많이 합니다. 예를 들어, +3은 부호를 생략하고 씁니다. \(a\times b\)에서도 연산자를 생략합니다. 상용 로그에서도 \(\log_{10}N\)을 사용하기도 하지만, 10을 생략하고 \(\log N\)이라고 쓸 수도 있습니다.

하지만, 자연 과학에서는 주로 e를 자주 사용하기 때문에, \(\log_e x\)를 생략해서 \(\log x\)라고 보통 씁니다. 그렇기 때문에, 생략되었을 때 무엇을 의미하는지는 책머리에 항상 주어져야 합니다.

이 기사에서는 밑수가 생략되어 있으면, 밑수 10이 생략된 상용 로그를 의미합니다.

그럼 우리가 실제로 로그를 실생활에서 언제, 어떻게, 어떤 과정을 거쳐서 사용할까요? 만약 손으로 쉽게 계산할 수 있다면, 로그를 사용하여 계산하지는 않을 것입니다. 로그는 손으로는 계산하기 힘든 숫자를 로그를 취하여 계산한 후에, 역로그(antilog)를 사용하여 원래 숫자로 복원합니다. 즉,

\(\quad\)\(x=N\)

\(\quad\)\(\log x = \log N\)

\(\quad\)\(\log x = n+\alpha\)

\(\quad\)\(x=10^n \times 10^\alpha\)

여기서 \(n\)은 정수이고, \(0 \le \alpha < 1\)인 숫자입니다.

과정이 이해되었으면, 이제 우리가 알아야 할 것은 \(\log N = n + \alpha\)을 계산하는 방법과 \(10^{\alpha}\)를 계산하는 방법이며, 이들은 테이블에서 읽어오는 매우 간단한 과정입니다.

이제 실제 예제를 사용하여 로그의 계산 방법을 알아보려 합니다. 정확한 계산은 필요 없지만, 적절한 오차 안에서, 규모(자릿수)가 얼마 정도인지는 알고 싶습니다.

\(\quad\)\(x=3^{100}\)

양쪽 변에 로그를 취합니다.

\(\quad\)\(\log x = 100 \log 3\)

이제 \(\log 3\)의 값은 이미 해당 단원이 있는 수학 책의 가장 앞쪽이나 가장 뒤쪽에 테이블로 주어져 있으며, 여기서는 상용로그 테이블에서 제공합니다. 어쨌든, 그 값은 0.4771입니다. 그렇기 때문에 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

\(\quad\)\(\log x = 47.71=47+0.71\)

\(\quad\)\(x=10^{47+0.71}=10^{0.71} \times 10^{47}\)

여기서 \(k = 10^{0.71}\)의 값은 \(\log k = 0.71\)에 해당하는 가장 가까운 \(k = 5.128\) 값을 상용로그 테이블에서 제공합니다.

이런 방법으로 \(x = 3^{100} = 5.128 × 10^{47}\)로 계산될 수 있습니다. 지금 당장 이 글이 이해되지 않아도 상관없습니다. 좀 더 읽어보세요 

만약 로그로 나타낸 식이 지수식으로 잘 떠오르지 않거나 지수식이 로그로 잘 떠오르지 않는 분들은 로그의 뜻으로 가셔서 로그가 만들어진 이유를 다시 한번 생각해 보시기 바랍니다.

상용로그 테이블

위의 과정에서 \(\log 3 = 0.4771\)이라는 것을 테이블에서 읽어왔습니다. 이것은 이전에 제곱근의 계산을 위해 제곱근 테이블을 사용한 경험과 비슷합니다. 여기서 상용로그 테이블을 사용하는 이유도 자주 사용하기 때문에 그 값을 테이블에 미리 계산해 두고 테이블에서 그 값을 찾음으로써 계산에 직접 사용하기를 원하기 때문입니다. 테이블은 모든 숫자를 계산할 수 있도록 작성이 되어야 하므로, 제곱근 테이블에서와 비슷하지만 특징에 따라 조금 다르게, 상용로그 테이블은 숫자 1.00에서 9.99까지 0.01의 간격으로 상용로그의 값을 반올림하여 소수 넷째 자리까지 구한 근삿값을 구해서 테이블로 만들어 둔 것입니다.

그럼 테이블에서 값을 찾을 때에는, 예를 들어, \(\log3.742\)의 값은,

1. 왼쪽 열에 있는, 1.0에서 9.9까지의 숫자 열 중에서 3.7을 찾습니다.
2. 그다음 숫자 4는 위쪽 행에 0.00에서 0.09까지 (또는 0에서 9까지) 숫자 중에서 0.04 (또는 4)를 찾습니다.
3. 위의 단계에서 찾은 행과 열의 표차점의 숫자를 먼저 찾아 적습니다. 0.5729
4. 로그의 인수의 마지막 숫자 2는, 보통 비례 부분으로 부르는 것으로, 테이블의 오른쪽에 123,456,789로 나눈 열에서 3단계에서 찾은 행과 여기서 찾은 열이 만나는 값을 찾아 적습니다. 2

그러므로, \(\log3.742 = 0.5729+0.0002\)의 근삿값을 가집니다. 만약 비례 부분이 두 자리이면, 예를 들어 17같은 값이 나오면, 0.0017를 더해 줍니다.

위의 \(\log 3\)은 \(\log 3.00\)에 해당하는 값을 읽어 옵니다. 이것이, 로그의 인수가 1.000에서 9.999로 주어졌을 때, 실수-값을 구하는 방법입니다.

이제 반대로 \(\log k = 0.71\)일 때, 즉 실수-값이 0에서 1보다 작은 값이 주어졌을 때, 로그의 인수를 계산하는 방법입니다. 위에서 했던 방법의 역과정입니다.

1. 테이블 안쪽에서 0.71과 가장 가까운 값을 찾습니다. 0.7093
2. 1번 과정의 값에서 가장 왼쪽으로 가서 5.1을 읽고 최고 위로 가서 2를 읽어서 5.12로 적습니다.
3. 이제 1번 과정 0.7093의 값에서 채워지지 않은 0.0007을 오른쪽의 비례 부분에서 7을 찾아서 최고 위의 숫자 8을 읽습니다.
4. 3번 과정의 숫자를 2번의 숫자 뒤에 붙여서 5.128로 만듭니다.

3번 과정에서 0.0017과 같은 숫자일 때에는 비례부분에서 17에 해당하는 숫자를 찾아서 맨 위의 숫자를 읽습니다.

로그는 곡선입니다. 비례 부분은 로그 곡선의 두 점을 직선으로 연결해서 비례적으로 값을 계산해 둔 것입니다. 어차피 유효 숫자는 4자리로 결정했기 때문에 반올림을 위해서 아래자리를 더 구하려면, 더 많은 시간이 걸리기 때문입니다.

상용로그의 계산

그럼 더 큰 규모의 숫자는 어떻게 계산할까요? 예를 들어 \(\log37.42\)의 값은, 로그 테이블을 읽어올 필요 없이, 이전에 계산된 값에서 쉽게 계산됩니다.

\(\quad\)\(\log37.42 = \log3.742×10\)

\(\quad\)\(\log37.42 = \log3.742 + \log10\)

\(\quad\)\(\log37.42 = 0.5731 + 1 = 1.5731\)

또한, 규모가 작은 경우도 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\log0.3742 = \log3.742×10^{-1}\)

\(\quad\)\(\log0.3742 = \log3.742 + 10^{–1}\)

\(\quad\)\(\log0.3742 = 0.5731 + (–1) = \overline{1}.5731\)

여기서 주의해야 할 점은 비록 계산을 할 수 있지만, 계산을 하지 않고, 정수 부분과 (양의) 소수 부분을 표기한다는 점입니다. 그리고 이를 표기로 나타내기 위해서 음의 정수와 뒤쪽의 양수 소수 부분을 구별하기 위해, 음의 정수 부분의 부호를 숫자 위로 쓰는 방법을 채택합니다. 이른 방법을 사용하는 이유는 로그 테이블에서 읽을 수 있는 숫자는 양의 소수 부분으로 표현이 되어야 하기 때문입니다.

이와 같이 유효숫자 3742를 갖는 형태의 다른 표현들도 이와 같이 나타낼 수 있습니다. 즉,

\(\quad\)\(\log3.742×10^{n} = \log3.742 + \log10^n = n + 0.5731\)

그럼 다음과 같이 소수 부분이 음수로 표현되는 경우는 어떻게 해야 할까요?

\(\quad\)\(\log x = -3.4269\)

이럴 경우에는 로그 테이블에서 값을 읽어올 수 없으므로 다음과 같이 바꾸어서 계산해야 합니다.

\(\quad\)\(\log x = –3.4269 = –3–0.4269 = –3–1+1–0.4269=(–3–1)+(1–0.4269)\)

\(\quad\)\(\log x = –4+0.5731\)

\(\quad\)\(x = 10^{–4} \times 10^{0.5731} = 10^{–4} \times 3.742\)

지표와 가수

지표와 가수의 개념은 모든 로그에 동일하게 사용됩니다.

이전에 사용하지는 않았지만, 어떤 숫자에 로그를 취했을 때, 나오는 (양의) 소수 부분을 가수라고 부르고, 정수 부분을 지표라고 부릅니다. 가수 부분은 유효 숫자를 결정하고, 지표 부분은 규모(자릿수, 크기)를 나타냅니다.

지표와 가수 중에 어느 것이 더 중요한 것은 없습니다. 어쨌든, 지표는 정수라는 조건이지만, 가수는 양의 그리고 소수이기 때문에 조건이 더 까다롭습니다. 그래서 보통은 가수를 먼저 정하는 것이 유리합니다. 왜냐하면, 어떤 정수를 지표라고 정했지만, 가수의 조건을 만족하지 않으면, 그것은 지표가 아니기 때문입니다. 그러나, 어떤 것을 가수로 정했을 때, 나머지 부분이 양이던, 음이던 상관없이, 정수이면, 무조건 지표입니다. 다시 강조하지만, 정수를 지표라고 생각하면 틀릴 가능성이 높아집니다. 가수의 조건을 만족하는 정수라야 지표가 되므로, 문제 출제 때에는 이런 상황을 꽤 많이 고려합니다.

로그에서도 가수라는 용어 대신에 유효 숫자를 그대로 사용하기도 합니다. 가수와 유효숫자는 다르게 생각할 이유는 없지만, 둘 다 한문으로 구성된 단어이므로 이미 알고 있는 단어를 이용해서 설명하고자 하는 의도입니다.

위의 예제 \(x=3^{100} = 5.128 \times 10^{47}\)은 5다음에 영이 47개 붙는 숫자이므로, 은하계 몇 개 정도는 살 수 있는 정도의 크기입니다.

어쨌든, 조금 더 분석해 보자면,

\(\quad\)\(\log3.742= 0 + 0.5731\)

\(\quad\)\(\log37.42 = 1 + 0.5731\)

\(\quad\)\(\log374.2 = 2 + 0.5731\)

이런 형태로 계속될 것이므로, 가수 0.5731은 유효 숫자가 3742임을 나타냅니다. 그리고 지표는

\(\quad\)0일 때, 단자리

\(\quad\)1일 때, 두자리

\(\quad\)2일 때, 세자리

등을 나타내므로

\(\quad\)\(n \ge 0\)일 때, \(n+1\) 자릿수 임을 나타냅니다.

예를 들어, 가수가 0.5731이고 지표가 7이면, 숫자는 \(3.742 \times 10^{7}\)입니다.

반대로 규모가 작아지면,

\(\quad\)\(\log0.3742 = –1 + 0.5731\)

\(\quad\)\(\log0.03742 = –2 + 0.5731\)

\(\quad\)\(\log0.003742 = –3 + 0.5731\)

로그의 인수가 1보다 작아지면, 그의 지표가

\(\quad\)–1일 때, 소수이하 첫번째

\(\quad\)–2일 때, 소수이하 두번째

\(\quad\)–3일 때, 소수이하 세번쩨

등을 나타내므로

\(\quad\)\(n<0\)일 때, 소수이하 \(n\)번째에서 처음으로 영이 아닌 숫자가 나타납니다.

예를 들어, 가수가 0.5731이고 지표가 –7이면, 숫자는 \(3.742 \times 10^{-7}\)입니다.

곱셈과 나눗셈

실생활에서의 계산에서 어려운 것 중에 또 다른 하나는 자릿수가 많은 곱셈과 나눗셈을 들 수 있습니다. 예를 들어 다음을 계산해 보십시오.

\(\quad\)\(\displaystyle k=\frac{2.355 \times 3.877}{5.732}\)

이런 계산에 대해, 상용로그 테이블을 사용하여, 다음과 같은 과정을 통해 계산할 수 있습니다.

먼저, 양변에 상용로그를 취하여,

\(\quad\)\(\log k = \log 2.355 + \log 3.877 - \log 5.732\)

그런 다음, 테이블에서 읽으면,

\(\quad\)\(\log k = 0.3720 + 0.5885 - 0.7584\)

덧셈과 뺄셈은 수작업으로 직접해야 합니다:

\(\quad\)\(\log k = 0.2021\)

역로그 과정으로, 마찬가지로 테이블에서 값을 읽으면, 다음과 같습니다:

\(\quad\)\( k = 1.592\;\mbox{or}\;1.593\)

계산기를 사용하여, 이 값을 계산하면,

\(\quad\)\( k = 1.592870726\)으로, 약 1.5929의 값을 구해 줍니다.

즉, 복잡한 곱셈과 나눗셈을, 상대적으로 쉬운 덧셈과 뺄셈으로 바꾸고 테이블에서 찾아서 계산하는 방법으로 대체함으로써, 계산 시간의 절대적 단축과 간편함을 맛볼 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

자연수 \(n\)에 대하여 

\(\quad\)\(\log n = f(n) + g(n)\) (\(f(n)\)은 정수, \(0 \le g(n) < 1\))

이라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

\(\quad\)(가) \(1 \le f(n) \le 2\)

\(\quad\)(나) \(g(2n) = g(14)\)

응용예제2

인터넷 중고 쇼핑몰에서 P컴퓨터의 가격은 전월 대비 매월 일정한 비율로 하락하여 현재 가격이 10개월 전보다 40% 하락했습니다. 매월 이와 같은 비율로 P컴퓨터의 가격의 가격이 하락한다고 할 때, 현재 200만원인 P컴퓨터의 가격이 40만원 이하가 되려면 최소한 몇 개월이 지나야 하는지 구하시오. (단, \(\log2=0.3,\;\log3=0.5\)으로 계산하십시오.)

응용예제3

\(x \ge 1\)일 때, \(\log_2 x\)의 정수 부분을 \(f(x)\)라고 놓습니다. 방정식 \(f(2x+12)=f(x)+3\)의 해를 \(\alpha \le x < \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은 얼마일까요?