복소수의 정의

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See also: Imaginary unit, Imaginary number, Complex number, Complex conjugate, and Complex conjugate root theorem

중등 교육과정의 수체계는 다음과 같습니다.

1. 자연수(Natural number) : 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수로써 양의 정수로 정의됩니다.
2. 정수(Interger) : 자연수와 이들의 음수와 0으로 이루어진 수 체계입니다.
3. 유리수(Rational number) : 두 정수의 분수 형태(단, 분모 ≠ 0 )로 나타낼 수 있는 실수를 말합니다.
4. 무리수(Irrational number) : 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말합니다.
5. 실수(Real number) : 수직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계입니다.

이전 과정에서, 실수가 다른 모든 숫자를 포함하는 가장 큰 범위를 가지지만, 실수가 아닌 숫자가 등장합니다. 용어 자체는 실수(real number)가 아닌 숫자라는 의미로 허수(imaginary number)를 사용하지만, 숫자 자체가 상상의 숫자는 아닙니다.

실수는 양수, 0, 음수로 나눌 수 있습니다. 이 세 종류로 분류된 실수를 제곱하면, 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.

• 양수의 제곱은 양수
• 영의 제곱은 영
• 음수의 제곱은 양수

여기서 의문이 생깁니다. 제곱을 했을 때 음의 값을 가지는 숫자는 없을까요? 즉, 다음의 방정식을 만족하는 숫자는 정의할 수 없는 걸까요?

\(\quad\)\(x^2=-1\cdots(1)\)

이런 문제는 실수 숫자 시스템에서는 없습니다가 정답이었지만, 이제 이런 경우에도 해가 있음을 정의하고 해를 표현하는 방법을 만들려고 합니다.

우선, 이 문제는 실수 체계에서는 제곱근의 문제로 다루어져 왔습니다.

\(\quad\)\(x^2=a\) (단, \(a \ge 0\))

이 방정식의 해는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x=\pm \sqrt{a}\)

실수의 조건을 만족하지 않지만, 실수에서의 방법을 적용해서, 식 (1)의 해를 표현하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x=\pm \sqrt{-1}\)

앞으로 이런 숫자를, 실수(real number)에는 없다는 것을 강조해서, 허수(imaginary number)라고 부르지만, 실수와 마찬가지로, 하나의 숫자입니다.

그중에서 부호가 양수인 \(\sqrt{-1}=i\)라고 줄여 쓰며, 허수단위라고 부릅니다.

실수가 아닌 허수에는 대소관계가 없기 때문에, 허수단위를 –i를 선택할 수도 있었지만, 수학에서 대체로 양의 부호를 먼저 사용했고, 게다가, 생략해서 사용해 왔기 때문에, 부호가 양수인 것을 허수단위로 정한 것뿐입니다.

또한, 이 영역을 확장해서 아래와 같이 허수의 제곱근을 정의합니다.

\(\quad\)\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) (\(a>0\)인 실수)

한편, 허수단위 \(i\)는 식 (1)의 해였기 때문에 대입해서, \(i^2=-1\)을 만족하는, 그 거듭제곱은 순환하는 특징을 가집니다:

\(\quad\)\(\begin{align}
& i=i^5=i^9=\cdots=i^{4k+1}=i \\
& i^2=i^6=i^{10}=\cdots=i^{4k+2}=-1 \\
& i^3=i^7=i^{11}=\cdots=i^{4k+3}=-i \\
& i^4=i^8=i^{12}=\cdots=i^{4k+4}=1 \\
\end{align}\)

여기서 \(k\)는 비-음의 정수입니다.

결국 \(i^n\) (\(n\)은 자연수)의 결과는 집합 \(\{i, -1, -i, 1\}\)의 네 원소 중 하나입니다.

복소수

복소수(Complex number)는 이전의 실수와 허수를 포함하는 수체계입니다.

\(\quad\)\(\mathbb Z=a+bi\) (\(a,b \in\)실수)

여기서 \(a\)를 실수부, \(b\)를 허수부라고 부릅니다.

복소수는 실수부, 허수부의 존재 유무에 따라 크게 3종류로 나누어서 생각할 수 있습니다.

조건	표현	수체계
\(b=0\)	\(\mathbb Z=a\)	실수
\(b \neq 0\)	\(\mathbb Z=a+bi\)	허수
\(a=0, b \neq 0\)	\(\mathbb Z=bi\)	순허수

순허수에 대한 정의는 수학자마다 다를 수 있습니다. 일부 수학자는, 비록 실수부가 영일지라도, 순허수로 분류하기 때문에 영(0)도 순허수에 포함시키기도 합니다. 그러므로, 문제에서 명확하게 지칭을 하지 않을 경우에는 문제 자체가 틀린 것으로 여겨질 수 있습니다.

복소수는 교환, 결합, 분배법칙이 가능하며, 대부분 실수의 특징을 따릅니다.

그러나 크기를 비교하는 부등호는 수직선 상에 표현되는 실수에서 정의되기 때문에 복소수 사이의 대소 비교는 정의되지 않습니다.

복소수 상등

두 개의 복소수가 서로 같을 조건은 실수부와 허수부가 모두 같아야 합니다. 실수 \(a,b,c,d\)에 대하여 다음의 조건을 만족합니다.

\(\quad\)\(a+bi=c+di \Rightarrow a=c, b=d\)

\(\quad\)\(a+bi=0 \Rightarrow a=0, b=0\)

복소수 상등은 실수부와 허수부가 실수일 때에만 정의됩니다. 만약 실수라는 표현이 없으면 \(a,b,c,d\)에 복소수가 들어갈 수 있다는 것을 잊으면 안 됩니다. 시험에서 어려운 문제로 출제하는 부분 중에 하나입니다.

기본예제

기본예제1

다음을 허수단위 \(i\)를 써서 간단히 하여라.

(1) \(\sqrt{-9}\)

해설) 허수의 정의에 따라, \(\sqrt{-9}=\sqrt{9}i=3i\)입니다.

(2) \(-\sqrt{-12}\)

해설) 허수의 정의에 따라, \(-\sqrt{-12}=-\sqrt{12}i=-2\sqrt{3}i\)입니다.

기본예제2

다음 수의 제곱근을 구하여라.

(1) \(-7\)

해설) 어떤 수의 제곱근은 방정식을 푸는 문제입니다. 다음의 방정식의 해가 정답입니다.

\(\quad\)\(x^2=-7\)

수의 제곱근을 구하는 방법은 실수의 것을 그대로 따릅니다. 그래야 허수가 정의되기 때문입니다.

\(\quad\)∴ \(x=\pm \sqrt{-7}=\pm \sqrt{7}i\)

기본예제3

다음 등식이 성립하도록 두 실수 \(x,y\)의 값을 정하여라.

(1) \((x+y)+5i=3+yi\)

해설) 복소수 상등에 따라, \(x+y=3, 5=y\)입니다.

\(\quad\)∴ \(x=-2, y=5\)

응용예제

응용예제1

이차방정식 \(x^2+ix+2b+ai=0\) (\(a,b\)는 실수인 상수)이 실근을 가집니다. 이때, \(a,b\)의 관계를 그래프의 개형으로 나타내십시오.

응용예제2

그림과 같이 크기가 다른 정육면체 및 직육면체 모양의 상자 \(\mathrm{A,B,C,D}\)가 각각 5개, 16개, 13개, 2개 있습니다. 이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직육면체를 만들었습니다. 이 직육면체의 가로, 세로, 높이의 합이 \(a+b\sqrt{5}\)일 때, \(a+b\)의 값은?

응용예제3

다음 등식을 만족하는 100보다 작은 자연수 \(n\)의 개수를 구하여라.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{i}-\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^3}-\frac{1}{i^4}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{i^n}=1-i\)

응용예제4

\(x\)가 실수이고, \(z=(2-i)x^2+2ix+3i-2\)입니다.

\(\quad\)(ㄱ) \(z^2\)이 양의 실수일 때, \(x\)의 값을 구하여라.

\(\quad\)(ㄴ) \(z^2\)이 음의 실수일 때, \(x\)의 값을 구하여라.

응용예제5

\(z\neq \overline{z}\)이고 \((z-1)^2\)이 실수일 때, \(z+\overline{z}\)의 값을 구하여라. 단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수입니다.

응용예제6

그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)가 각각 5장, 11장, 8장 있다.

이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 \(a+b\sqrt{3}\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오.

응용예제7

제곱하여 \(2i\)가 되는 복소수를 모두 구하고, 그때의 모든 복소수의 합의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\)이다.)

해설: 이런 문제를 처음 겪게 되는 학생들은 어떤 생각으로 문제를 접근할 수 있을까요?
우선, 처음 주어진 숫자는 복소수이고, 그것을 \(x\)로 두면, 아래와 같이 식을 적을 수 있습니다:

\(\quad\)\(x^2=2i\)

이것은 제곱근의 문제이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(x=\pm \sqrt{2}\sqrt{i}\)

따라서, 위의 두 숫자의 합은 0입니다.

위의 풀이는 약간의 문제가 있는데, 허수 단위를 나타내는 \(i\)를 제곱근 안에 두는 표기법을 고등학교에서 허용할 것인지의 문제가 있고, 그렇지만, 두 복소수를 표현했다는 사실은 변함이 없기 때문에, 무작정 틀렸다고 하기에는 무리가 있어 보입니다. 이런 풀이는 고등학교에서 원하는 풀이가 아니기 때문에 무조건 배척되어야 하는지도 생각해 볼 문제입니다.

어쨌든, 고등학교에서 원하는 풀이과정은 아래와 같은 것으로 기대됩니다.

먼저, 주어진 복소수를 \(z=a+bi\) (여기서, \(a,b\)는 실수)로 놓으면,

\(\quad\)\((a+bi)^2=2i\)

주어진 식을 전개해서 복소수 상등을 사용하면,

\(\quad\)\(a^2-b^2=0, 2ab=2\)

이제 이원이차 연립방정식으로 답을 쉽게 적을 수 있습니다.