이차방정식의 실근의 분리

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차방정식의_실근의_분리

이차방정식의 실근의 부호 문제는 기준점이 \(0\)입니다. 여기서 좀 더 일반화시켜 기준점이 임의의 실숫값이 되는 것을 실근의 분리 문제라고 부릅니다.

실근의 부호에서는 판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱으로 부호의 판정을 했습니다. 반면에 실근의 분리에서는 판별식, 대칭축, 함숫값을 이용합니다.

이차계수의 부호가 음수이면, 아래와 같이 함숫값의 부호만 달라집니다. 외우는 것보다 그래프의 개형으로 확인을 하는 것이 필요합니다. 여기서 대칭축은 \(\displaystyle x_s=-\frac{b}{2a}\)라고 놓습니다.

\(\quad\)i) \(\alpha>p,\;\beta>p\) : \(D\geq 0,\;x_s>p,\;f(p)<0\)

\(\quad\)ii)  \(\alpha<p,\;\beta<p\) : \(D\geq 0,\;x_s,\;f(p)<0\)

\(\quad\)iii) \(\alpha<p<\beta\) : \(f(p)<0\)

\(\quad\)iv) \(p<\alpha \leq \beta < q\) : \(D \geq 0, \;p<x_s<p,\;f(p)<0,\;f(q)<0\)

두 근이 모두 클 경우

실계수 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\;\;(a>0)\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha\leq\beta)\)와 상수 \(p\) 사이의 대소 관계를 이차함수 \(f(x)=ax^2+bx+c\)의 그래프를 이용하여 다음과 같이 알 수 있습니다. 먼저, 오른쪽 그림처럼, 두 근이 모두 \(p\)보다 큰 경우에는 다음의 세가지 조건을 만족해야 합니다.

\(\quad\)\(D\geq 0,\;x_s>p,\;f(p)>0\)

여기서 의문이 생깁니다. 꼭 세가지 조건을 다 만족해야 하나요?

조건이 많을수록 풀어야 할 연립부등식이 개수가 늘어나서 복잡해진다는 의미입니다. 그러므로 가능하면 조건이 적을수록 좋겠습니다.

만약 2가지 조건으로 가능한 경우가 있을까요?

예를 들어, \(D\geq 0,\;x_s>p\)이 조건만으로 두 근이 모두 \(p\)보다 큰 경우가 가능할까요?

그렇지만, 오른쪽 그림처럼 \(f(p)<0\)인 경우에는, 앞의 조건은 만족하지만 두 근이 모두 \(p\)보다 큰 경우가 아닙니다.

다른 예로 \(D\geq 0,\;f(p)>0\)인 2가지 조건으로 가능하지 않을까요?

그렇지만, 이것도 \(p>\beta\)보다 큰 그림으로 앞의 조건은 만족하지만, 두 근이 모두 \(p\)보다 큰 경우가 아닙니다.

마지막으로 \(x_s>p,\;f(p)>0\)인 2조건으로 가능하지 않을까요? 이 경우에는 \(x\)축 위에 이차함수가 전부 놓이는 경우(허근인 경우)에 2가지 조건을 만족하지만, 두 실근이 생기지 않기 때문에, 두 근이 \(p\)보다 큰 경우가 아닙니다.

그러므로 최소한 위에서 제시한 3가지 조건을 만족해야 두 근이 \(p\)보다 큰 경우의 그림을 그릴 수 있습니다.

두 근이 모두 작을 경우

두 근이 모두 \(p\)보다 작을 경우에는 다음의 세가지 조건을 만족해야 합니다.

\(\quad\)\(D\geq 0,\;x_s<p,\;f(p)>0\)

두 근 사이에 놓이는 경우

두 근 사이에 \(p\)가 놓이는 경우(\(\alpha<p<\beta\))에 판별식이 필요 없는 이유는 이차항의 계수가 양수이기 때문에 \(f(-\infty)=+\infty\)입니다. 즉, 좌측 끝점에서는 \(x\)축 위에서 그래프의 개형이 시작된다는 의미입니다. 중간에 함숫값이 음을 가지려면 반드시 \(x\)축을 지날 수밖에 없습니다. 또한 \(f(+\infty)=+\infty\)이므로, 우측 끝점은 \(x\)축 위에 놓이려면 또 한 번 \(x\)을 지날 수밖에 없습니다. 그러므로 항상 2개의 실근을 갖는 경우입니다.

대칭축의 위치도 판단할 수 없기 때문에 적용을 하지 않습니다.

그러나 문제에서 \(p\)와 \(\alpha\) 사이의 거리보다 \(p\)와 \(\beta\) 사이의 거리가 더 크다라는 조건이 있으면, \(p\)는 \(\alpha\)에 가까이 있는 경우이므로, \(x_s<p\)인 조건을 주어서 문제를 풀어야 합니다. 왜냐하면, 대칭축은 항상 \(\alpha,\beta\)의 중간에 위치하기 때문입니다.

구간 사이에 두 근이 놓이는 경우

구간 \((p,q)\) 사이에 두 근이 놓이는 경우(\(p<\alpha\leq \beta<q\))에는 다음의 4가지를 만족해야 합니다.

\(\quad\)\(D\geq 0,\;p<x_s<q,\;f(p)>0,\;f(q)>0\)

이런 문제에서도 서로 다른 두 근이라는 의미가 있을 때에는 판별식에 등호가 없어져야 합니다. 또한 끝점을 포함할 때에는 함숫값에 등호가 생겨야 합니다.

응용예제

응용예제1

서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식 \(x^2+6x+k-2=0\)의 한 근이 이차방정식 \(x^2-x-6=0\)의 두 근 사이에 존재하도록 하는 정수 \(k\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

응용문제2

이차함수 \(y=-x^2+ax+4\)의 그래프와 직선 \(y=2x+1\)의 두 교점을 이은 선분 위에 두 교점이 아닌 점 \((3,7)\)이 있을 때, 정수 \(a\)의 최솟값은?

응용예제3

\(x\)에 대한 이차방정식 \(ax^2-bx+3c=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 할 때, \(2 \le \alpha \le 3\), \(4 \le \beta \le 5\)입니다. \(a+b+c\)의 값은? (단, \(a,b,c\)는 1보다 크고 14보다 작은 자연수입니다.)

응용예제4

\(x\)에 대한 이차방정식 \(ax^2-bx+3c=0\)이 다음 두 조건을 만족시킬 때, \(a+2b+3c\)의 값은?

\(\quad\)(ㄱ) \(a,b,c\)는 한 자리의 자연수이다.

\(\quad\)(ㄴ) 두 근 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(1<\alpha<2,5<\beta<6\)이다.

응용예제5

이차방정식 \(x^2-(m+1)x+2m=0\)이 \(-1 \le x \le 1\)에서 적어도 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 \(m\)의 값의 범위는 \(p \le m \le q\)이다. 이때, \(\frac{9}{2}p+q\)의 값은?