매개변수로 나타낸 함수의 미분과 접선

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좌표 평면 위를 움직이는 대상의 좌표가 시간 \(t\)의 함수로 알려져 있을 때, 예를 들어,

\(\quad\)\(x=t-2,\;y=2t^2-4\)

로 주어지면, 

\(\quad\)\(t=x+2\)

으로 조작한 후, 

\(\quad\)\(y=2\left(x+2\right)^2-4\)

와 같이, \(y\)를 \(x\)에 관한 함수로 만들 수 있습니다. 

일반적으로 두 변수 \(x,y\) 사이의 관계를 다른 변수 \(t\)를 매개로 하여

\(\quad\)\(x=f(t),\;y=g(t)\cdots(1)\)

의 꼴로 나타낼 때 변수 \(t\)를 매개변수라고 하며, 식 (1)을 매개변수로 나타낸 함수라고 합니다.

어쨌든, 식 (1)에서, 위의 예제처럼, \(t=h(x)\)로 조작이 가능하면,

\(\quad\)\(y=g(h(x))\)

와 같이, \(y\)를 \(x\)에 대한 두 함수의 합성함수로 표현할 수 있습니다.

그러나, \(t\)를 \(x\)의 함수로 나타내지 못하면, \(y\)를 \(x\)에 관한 함수로 나타낼 수 없습니다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

한편, 매개변수로 표현한 함수에 대한 접선을 구할 경우에서, 도함수를 활용할 수 있습니다.

식 (1)에서, 각 매개변수에 대한 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=f'(t),\;\frac{dy}{dt}=g'(t)\)

또한, 체인 규칙에 의해, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\frac{dy}{dx} & =\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \\
& = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}} \\
& = \frac{g'(t)}{f'(t)} \\
\end{align}\)

여기서, 매개변수로 나타낸 함수는 \(t\)에 대해서 미분가능하고, \(f'(t) \neq 0\)여야 합니다.

매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

위의 예제

\(\quad\)\(x=t-2,\;y=2t^2-4\)

에 대해, \(t=3\), 즉, \((1,14)\)에서의 접선의 방정식은

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4t}{1}\)

이고, \(t=3\)에서 기울기는 12이므로, 접선의 방정식은

\(\quad\)\(y-14=12(x-1)\)

물론, 아래와 같이 함수로 고쳤다면,

\(\quad\)\(\begin{align}
y & = 2\left(x+2\right)^2-4 \\
& = 2x^2+8x+4 \\
\end{align}\)

이고, 도함수 \(y'=4x+8\)이므로, 접점에서 기울기는 똑같이 12입니다.

매개변수를 하나의 함수로 만들지 못하는 경우, 또는, 하나의 합성함수로 만들 수 있는 경우에도 매개변수를 두고 접선을 구하는 것이 계산에서 편의가 있습니다. 왜냐하면, 대입하고 전개하는 과정이 필요 없는 것은 물론이고, 합성함수는 일반적으로 차수가 올라가서 더 복잡해지기 때문입니다.