벡터의 성분

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벡터로 계산하기 위해, 그래픽 표현이 너무 번거로울 수 있습니다.

위치벡터는 원점을 시작점으로 해서 평면 위의 점에 대한 그래픽적 표현이고, 이것은 직교 좌표계의 좌표와 연결해서, 좌표 벡터(coordinate vector)로 표현될 수 있습니다. 벡터의 끝점은, 평면에서는 2개의 실수, 공간에서는 3개의 실수의 순서화된 목록으로 식별될 수 있습니다.

이들 숫자는, 주어진 직교 좌표계에 관해서, 벡터의 끝점의 좌표(coordinates)이고, 전형적으로 좌표계의 축 위의 벡터의 스칼라 성분(scalar component) (또는 스칼라 투영(scalar projections))이라고 부릅니다.

예를 들어, 이-차원 평면에서, 원점 \(\mathrm O(0, 0)\)에서 점 \(\mathrm{A}(2, 3)\)까지의 벡터는 간단히 다음으로 쓰일 수 있습니다:

\(\quad\)\(\vec{a} = (2,3).\)

오른쪽의 순서화된 좌표를 벡터로 나타내기 위해, 축의 양의 방향의 크기가 1인 단위벡터를 정의하고, 벡터의 덧셈에 의해, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\vec{a} = (2,3)=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\)

여기서, \(\vec{e_1}=(1,0)\), \(\vec{e_2}=(0,1)\)을 나타냅니다.

일반적으로 임의의 벡터 \(\vec{a}\)에 대하여 \(\vec{a}=\vec{\mathrm{OA}}\)인 위치벡터 \(\vec{\mathrm{OA}}\)의 끝점 \(\mathrm{A}\)의 좌표를 \((a_1,a_2)\)라 하고, 점 \(\mathrm{A}\)에서 \(x\)-축, \(y\)-축에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{A_1}, \mathrm{A_2}\)라고 하면

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{OA_1}}=\vec{a_1}=a_1\vec{e_1}\), \(\vec{\mathrm{OA_2}}=\vec{a_2}=a_2\vec{e_2}\).

따라서,

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{a} & = \vec{\mathrm{OA_1}} +\vec{\mathrm{OA_2}} \\
& = \vec{a_1} +\vec{a_2} \\
& = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} \\
\end{align}\).

여기서, \(\vec{a_1},\vec{a_2}\)는, 각각, \(x\)-축, \(y\)-축에 대한 벡터 (구성)성분(vector component) (또는 벡터 투영(vector projections))이라고 불리고, 반면에 \(a_1,a_2\)는, 각각, 스칼라 (구성)성분(scalar component) (또는 스칼라 사용)이라고 불립니다.

평면 위의 임의의 위치벡터는, 그의 스칼라 성분을 이용하여, 다음과 같이 간단히 나타냅니다.

\(\quad\)\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)

한편, 그의 크기는, 피타고라스 정리에 의해,

\(\quad\)\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

게다가, \(\vec{a}=(a_1,a_2)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2)\)로 나타낼 때, 두 벡터가 서로 같으려면, 각각의 구성성분이 서로 같아야 합니다.

\(\quad\)\(\vec{a}=\vec{b} \Longleftrightarrow a_1=b_1,a_2=b_2\)

평면벡터의 성분에 의한 연산

이제, 벡터는 그의 성분, 즉 좌표로 표현될 것이므로, 이전에 정의된 벡터의 연산 역시 성분에 의해 동작해야 합니다. 

이 과정은 성분으로 정의된 두 벡터를 단위벡터 (또는 기저벡터)로 나타내고, 이전의 정의된 벡터의 연산에 의해, 연산을 수행한 후, 다시 성분으로 표시하는 것입니다.

예를 들어, 평면 위의 두 벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2)\)에 대해,

두 벡터의 덧셈은 다음과 같이 연산됩니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{a}+\vec{b} & = (a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2})+(b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}) \\
& = (a_1+b_1)\vec{e_1}+(a_2+b_2)\vec{e_2} \\
& = (a_1+b_1, a_2+b_2) \\
\end{align}\)

같은 방법으로, 두 벡터의 뺄셈은 다음과 같이 연산됩니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{a}-\vec{b} & = (a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2})-(b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}) \\
& = (a_1-b_1)\vec{e_1}+(a_2-b_2)\vec{e_2} \\
& = (a_1-b_1, a_2-b_2) \\
\end{align}\)

또한, 실수 \(k\)에 대해, 벡터의 스칼라 실수배는 다음과 같이 연산됩니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
k\vec{a} & = k(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}) \\
& = (ka_1)\vec{e_1}+(ka_2)\vec{e_2} \\
& = (ka_1, ka_2) \\
\end{align}\)

한편, 시작점이 원점이 아닌 경우에서, 두 점 \(\mathrm{A}(a_1,a_2)\), \(\mathrm{B}(b_1,b_2)\)에 대해, 벡터 \(\vec{\mathrm{AB}}\)를 성분으로 나타내면

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{\mathrm{AB}} & = \vec{\mathrm{AO}}+\vec{\mathrm{OB}} \\
& = \vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}} \\
& = (b_1,b_2)-(a_1,a_2) \\
& = (b_1-a_1, b_2-a_2) \\
\end{align}\)

따라서, 벡터 \(\vec{\mathrm{AB}}\)의 크기는, 피타고라스 정리에 의해, 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)