직선의 방정식(공간벡터)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/직선의_방정식(공간벡터)

See also: 직선의 방정식

이-차원 평면에서, 벡터를 이용한 직선의 방정식과 삼-차원 공간에서, 벡터를 이용한 직선의 방정식은 완전히 동일합니다.

어쨌든, 둘의 차이는 주어진 위치벡터의 순서쌍이 하나 늘어남으로써 발생합니다.

지나는 한 점 \(\mathrm{A}\)의 위치벡터를 \(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)로 놓고, 벡터 \(\vec{u}=(a,b,c)\)에 평행한 직선을 \(l\)이라 할 때, 직선 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y,z)\)라고 하면, 

\(\quad\)\(\begin{align}
(x,y,z) & = (x_1,y_1,z_1)+t(a,b,c) \\
& = (x_1+ta, y_1+tb,z_1+tc)
\end{align}\)

여기서 \(abc\neq 0\)일 때, \(t\)를 소거하면

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\cdots(1)\)

식 (1)은 \(x,y,z\)-좌표 사이의 일차 관계식이므로 직선의 방정식입니다.

한편, \(abc=0\)이면, 식 (1)를 이용할 수 없으므로, 별도로 생각해야 합니다.

먼저, \(a=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(0,b,c)\), 즉 \(yz\)-평면과 평행하므로, \(x\)-축과 수직인 직선으로써,

\(\quad\)\(\displaystyle x=x_1, \frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\).

같은 논리로, \(b=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(a,0,c)\), 즉 \(zx\)-평면과 평행하므로, \(x\)-축과 수직인 직선으로써,

\(\quad\)\(\displaystyle y=y_1, \frac{x-x_1}{a}=\frac{z-z_1}{c}\).

같은 논리로, \(c=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(a,b,0)\), 즉 \(xy\)-평면과 평행하므로, \(z\)-축과 수직인 직선으로써,

\(\quad\)\(\displaystyle z=z_1, \frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}\).

또한, 다른 형태로써, 두 값이 동시에 0이 되는 경우를 살펴보면, \(a,b=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(0,0,c)\), 즉 \(z\)-축과 평행하므로, \(xy\)-평면과 수직으로써,

\(\quad\)\(x=x_1,y=y_1\)

같은 논리로, \(b,c=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(a,0,0)\), 즉 \(x\)-축과 평행하므로, \(yz\)-평면과 수직으로써,

\(\quad\)\(y=y_1,z=z_1\)

같은 논리로, \(c,a=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(0,b,0)\), 즉 \(y\)-축과 평행하므로, \(zx\)-평면과 수직으로써,

\(\quad\)\(x=x_1,z=z_1\)

한편, \(a,b,c=0\)이면, 방향벡터 \(\vec{u}=(0,0,0)\), 즉 영벡터이므로, 그의 방향을 결정할 수 없음으로써, 직선의 방정식을 구할 수 없습니다.

서로 다른 두 점을 지나는 직선

두 점 \({\rm A}(x_1, y_1, z_1),\ {\rm B}(x_2, y_2, z_2)\)를 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할까요?

이때에는 방향벡터를 별도로 정의할 필요 없이, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) 자체를 방향벡터로 둘 수 있습니다 (그림을 참조하십시오).

따라서, 직선의 방정식은 다음처럼 쓸 수 있습니다.

이 직선의 방향벡터는 

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\) (단, \(x_1\neq x_2, y_1\neq y_2, z_1\neq z_2\))

물론, 분모가 0이 되는 경우는 위와 마찬가지로 별도로 생각해야 합니다.

두 직선이 이루는 각

직선의 방정식(평면벡터)#두 직선이 이루는 각의 크기를 참조하십시오.

단지 방향벡터의 성분이 하나 추가될 뿐입니다.

두 직선의 평행과 수직

직선의 방정식(평면벡터)#두 직선의 평행과 수직을 참조하십시오.

두 직선 \(l_1,l_2\)의 방향벡터가 각각

\(\quad\)\(\vec{u_1}=(a_1,b_1,c_1),\;\vec{u_2}=(a_2,b_2,c_2)\)
일 때, 
i) 두 직선이 평행이면

\(\quad\)\(a_1:b_1:c_1 = a_2 : b_2 :c_2\)
ii) 두 직선이 수직이면,

\(\quad\)\(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\)

몇 가지 문제

• 방향벡터가 분수로 주어지면, 분모의 최소공배수를 곱해서 정수로 만들 수 있습니다.
• 두 직선이 이루는 각도는 두 직선의 방향벡터가 이루는 각도와 같습니다. 두 방향벡터를 좌표로 나타내어서 내적 관계식으로 두 직선이 이루는 각도를 구할 수 있습니다.
• 직선 위의 어떤 특정한 점을 구하고 싶을 때에는 \(x=at+x_1, y=bt+y_1, z=ct+z_1\)라고 둘 수 있습니다. 특히 점에서 직선까지 최단 거리를 구할 때 용이합니다. 점 \(\mathrm A\)에서 직선에 이르는 거리는 점 \(\mathrm A\)에서 직선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm H\)라고 하면, \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}=0\)을 이용해서 구할 수 있습니다.
• 꼬인 위치의 두 직선의 사이의 거리는 두 직선 위의 점\(\mathrm M(x=x_1+at, y=y_1+bt, z=z_1+ct)\), \(\mathrm N(x=x_2+ps, y=y_2+qs, z=z_2+rs)\)으로 각각 두고 \(\overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot \vec{u_1}=0,\ \overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot \vec{u_2}=0\)을 연립해서 \(t, s\)를 구할 수 있습니다. 여기서 \(\vec{u_1}=(a, b, c),\ \vec{u_2}=(p, q, r)\)는 직선의 방정식에 대한 방향벡터입니다.