공간벡터의 내적

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점 곱의 정의는 달라지지 않습니다. 단지 성분은 하나 늘어나기 때문에, 해당하는 연산이 늘어날 뿐입니다.

공간벡터의 내적

벡터의 내적을 참조하십시오.

영벡터가 아닌 두 공간벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)에 대해, 그의 점 곱은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{a}\cdot\vec{b} & = \left|\vec{a} \right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta \\
& =a_1 b_1 + a_2 b_2 +a_3 b_3
\end{align}\)

벡터의 내적의 연산법칙

벡터의 내적#벡터의 점 곱의 속성을 참조하십시오.

두 벡터가 이루는 각의 크기

두 벡터의 위치 관계를 참조하십시오.

공간벡터는 그의 성분이 하나 늘어날 뿐입니다.

영벡터가 아닌 두 벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\; (0\le \theta \le \pi)\)라 하면

\(\quad\)\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\, |\vec{b}|}\)

여기서,

\(\quad\)\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

\(\quad\)\(|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}\)

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

벡터의 수직 조건과 평행 조건

두 벡터의 위치 관계#벡터의 수직과 평행을 참조하십시오.

영벡터가 아닌 두 공간벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)에 대해

i) 두 벡터가 수직이면

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b}=0=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
ii) 두 벡터가 평행이면

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}|\, |\vec{b}| = \pm \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}\)

점 곱에 대한 응용 계산

• 내적은 실숫값이며, 내적의 최댓값은 두 벡터가 같은 방향으로 놓일 수 있으면 그때가 항상 최대입니다.
• 벡터 관계식의 절댓값은 양변을 제곱해서 구합니다. 예를 들어 \(\left|\vec{x}-\vec{p}\right|=k\)를 구할 때는 구하는 값을 \(k\)로 두고 양변을 제곱해서 내적 관계를 이용해서 풀 수 있습니다.
• 도형에서 내적을 응용한 문제는 육면체 계열은 원점을 아래쪽 안쪽에 두고 좌표로 계산하는 것이 일반적으로 좋습니다.
• 정사면체는 좌표로 만들 경우 꼭짓점의 위치가 무리수가 나오기 때문에 사잇각을 알고 있는 벡터로 나타내어서 계산하는 것이 편합니다. 즉, 위의 꼭짓점에서 아래쪽의 세 개의 꼭짓점으로 이르는 벡터를 두면 각각의 사잇각이 \(60^{\circ}\)이기 때문에 다른 벡터를 이 세 개의 벡터의 내적 관계로 표현하는 것이 계산이 편해집니다.
• 정사면체나 정팔면체를 아래-위로 붙이면 꼭짓점이 서로 한직선위에 놓이는 것을 이용할 수 있습니다.
• 같은 평면 내부에서 교점을 벡터로 표현할 경우에는 연립으로 풀면 시간이 오래 걸리므로 비값으로 계산할 수 있는지 우선적으로 고려해 봅니다.
• 구와 접하거나 구를 통과하는 평면은 구의 중심에서 접점이나 교선인 원의 중심사이의 벡터가 수직 벡터가 됩니다.
• 보통 내적의 최댓값과 최솟값의 문제는 두 벡터 사이의 각도가 \(90^{\circ}\)가 넘지 않을 때에는 기준이 되는 벡터(값이 변하지 않는 벡터)로 수선을 발을 내렸을 때 선분의 길이가 가장 긴 경우가 최댓값이 되며, 길이가 가장 짧은 경우가 최솟값이 됩니다. 각도가 \(90^{\circ}\)가 넘는 경우에는 수선의 발을 내렸을 때 길이가 가장 긴 것이 최솟값이 됩니다.