두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선으로 교점을 만들 수 있는 경우는 2가지가 있습니다. 교점이 1개인 경우와 두 직선이 일치하여 교점이 무수히 많은 경우입니다.

두 직선이 일치하는 경우에는 이 여러 개의 교점을 지나는 새로운 직선은 두 직선과 겹치는 경우밖에 없습니다.

결국, 교점이 1개인 경우에 이 교점을 지나는 새로운 직선의 방정식을 구하고자 하는 것이 목적입니다. 즉 \(f(x,y)=0, g(x,y)=0\) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&f(x,y)+k(g(x,y))=0\; \mbox{or}\\
&g(x,y)+h(f(x,y))=0
\end{align}\)

응용예제

다음 두 직선의 교점과 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
y & = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} & \cdots(1) \\
y & = -x+1 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)

해설) \((1)\times 2+(2)\)를 하면, \(3y=4\)이고, 대입하면, \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)입니다.

그러므로 \(\displaystyle \left(-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right), (0,0)\)을 지나는 직선의 방정식이 정답니다.

기울기 \(\displaystyle m=\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{1}{3}}=-4\)이므로, 직선의 방정식은 \(y=-4x\)입니다.
다른 접근법) 주어진 방정식을 다음과 같이 일반식으로 변경합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x-2y+3 & = 0 & \cdots(3) \\
x+y-1 & = 0 & \cdots(4)
\end{align}\right.\)

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 다음과 같습니다. 여기서 \(k\)를 결정하면 직선이 방정식이 완성됩니다.

\(\quad\)\(x-2y+3+k(x+y-1)=0\quad\cdots(5)\)

이 직선이 원점을 지나므로 대입하면 식을 만족해야 합니다.

\(\quad\)\(3-k=0\)

식 (5)에 \(k=3\)을 대입해서 정리하면, \(y=-4x\)의 직선의 방정식을 구할 수 있습니다.

직선 \(l:(x-2y+3)+m(x-y-1)=0\)과 두 점 \(\mathrm{P}(1,3)\), \(\mathrm{Q}(5,1)\)에 대하여, \(m\)의 값에 관계없이 직선 \(l\)이 지나지 않는 선분 \(PQ\) 위의 점을 구하여라.

해설: 두 도형의 교점을 지나는 방정식을 참조하십시오. 직선 \(l\)에서, \(m\)을 변화시키더라도 다음 직선을 그릴 수 없습니다:

\(\quad\)\(x-y-1=0\cdots(1)\)

따라서, 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)를 지나는 직선과 \(x-y-1=0\)을 교점이 문제의 조건에 맞는 답입니다. 그러나, 그 교점이 선분 위에 존재해야 하므로, 교점의 \(x\)-좌표의 범위는 다음 안에 존재해야 합니다:

\(\quad\)\(1 \le x \le 5\cdots(2)\)

먼저, 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 구해집니다:

\(\quad\)\(\displaystyle y-3=\frac{1-3}{5-1}(x-1)\cdots(3)\)

식 (1)과 (3)의 연립방정식을 풀어서, 교점을 구하면, \((3,2)\)이고, 범위를 만족하므로 답이 맞습니다.

문제를 바꾸실 때, 식 (2)의 조건을 만족하는지 반드시 확인을 해야 합니다. 해설지에서 이런 부분을 명확히 제시하지 않기 때문에, (당연해서 제시하지 않을까요?), 잘못된 문제를 출제할 수 있습니다.