함수

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Main article: Function (mathematics)

함수(function) 또는 사상(map)은 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계를 말합니다. 첫 번째 집합의 원소에 있는 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응시키면 함수가 됩니다.

정의

함수 \(f\)는 다음과 같은 튜플 \((X,Y,\operatorname{graph}f)\)입니다.

• \(X\)는 집합이며, \(f\)의 정의역이라고 합니다.
• \(Y\)는 집합이며, \(f\)의 공역이라고 합니다.
• \(\operatorname{graph}f\)는 곱집합 \(X\times Y\)의 부분 집합이며, \(f\)의 그래프라고 합니다.

이 튜플이 다음 공리들을 만족시켜야지만 함수라고 합니다.

• 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \((x,y)\in\operatorname{graph}f\)인 \(y\in Y\)가 유일하게 존재해야 합니다.

보통 정의역과 공역을 생략하는 경우에는 정의역을 \(X\), 공역을 \(Y\)라고 생각할 수 있습니다. 그러나 문제를 출제할 때에는 반드시 정의역과 공역을 표시해야만 합니다.

다시 말해, 함수는 정의역의 어떤 원소가 공역의 원소를 대응하지 않거나, 두 개 이상을 대응할 수는 없습니다. 함수에서 이러한 \(y\)를 \(f(x)\)라고 쓰며, 이러한 \(y\)들의 집합을 치역이라고 합니다. 치역은 공역의 부분집합입니다. 

다음과 같이 함수를 표시합니다.

\(\quad\)\(f\colon X\to Y\)

여기서 \(f\)가 정의역 \(X\), 공역 \(Y\)를 갖는 함수라는 뜻합니다.

함수는 정의역과 공역을 생략하여 \(f\, , \, f(x) \, , \; y=f(x)\) 등으로 표기하기도 합니다.

유한집합에서 함수가 되지 않는 경우는 다음과 같은 경우입니다. 즉, 정의역의 원소 중에 대응관계를 갖지 않은 경우와 정의역의 원소중에 치역이 2개인 경우입니다.

 

서로 같은 함수

두 함수가 서로 같기 위해서는 다음의 2가지를 만족해야 합니다.

1. 정의역과 공역이 서로 같아야 합니다.
2. 모든 대응관계가 같아야 합니다.

즉, \(f\colon X\to Y,\; g\colon X'\to Y'\)일 때, 아래의 2가지를 만족하면, \(f=g\)라고 합니다.

\(\quad\)\(X = X',\;Y= Y'\)

\(\quad\)\(\forall x\in X\)이면 \(f(x)=g(x)\)

따라서, 함수가 서로 같은지 여부를 확인하기 위해서, 확인하기 쉬운 정의역 및 공역이 서로 같은지 여부를 먼저 확인합니다. 예를 들어, 다음 두 함수는 정의역이 같지 않으므로 같은 함수가 아닙니다.

\(\quad\)\(y=x\)

\(\quad\)\(\displaystyle y=\frac{x^2}{x}\)

함수의 그래프

정의역의 원소가 유한집합일 때에는 함수의 그래프는 정의역의 원소와 함숫값의 순서쌍의 집합으로 나타내어집니다. 즉, 함수 \(f\colon X\to Y\)가 주어졌을 때, 정의역 원소 \(x\)와 함숫값 \(f(x)\)의 순서쌍 전체의 집합을 함수 \(\mathbf f\)의 그래프라고 합니다.

\(\quad\)\(\left\{(x,y)|y=f(x),\; x\in X\right\}\)

반면에, 일차함수, 이차함수 등에서는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합으로 주어집니다. 이때, 이 함수의 그래프의 원소인 순서쌍 \((x,y)\)은 무한개가 나옵니다. 이 무한개의 순서쌍을 좌표평면 위에 그림으로 나타내었을 때, 이를 함수의 그래프의 기하학적 표현이라고 합니다.

그럼 정의역과 공역이 실수 전체의 집합인 경우에 함수 \(f\colon X\to Y\)가 아닌 것은 어떤 것들이 있을까요? 우리가 알고 있는 원의 방정식은 함수가 아닙니다. 또한, 직선의 방정식 중에서도 \(y\)축과 평행인 직선이 함수가 아닙니다.
오른쪽 그림의 원이 \(f\colon X\to Y\) 함수가 아닌 이유는 두 가지가 있습니다.

1. \(x<-2, x>2\)사이에 대응하는 \(y\) 좌표가 없습니다.
2. \(y\)축에 나란한 파란 직선이 원과 두 곳에서 만납니다.

또한, 같은 이유로 \(f\colon Y\to X\) 함수도 아닙니다. 정의역에 제한을 하더라도, 빨간 직선과 두 곳에서 만납니다.

이와 같은 이유로 원의 방정식은 함수가 아니지만, 정의역을 제한하고, 그려진 자취의 일부를 줄임으로써 \(f\colon X\to Y\)로의 함수를 만들 수 있습니다.
즉, 다음과 같이 원의 방정식을 함수꼴로 바꾸고, 정의역을 제한함으로써 \(f\colon X\to Y\)로 만들 수 있습니다.

\(\quad\)\(y=\sqrt{4-x^2}\;(-2 \le x \le 2)\)

이때, 제곱근 앞의 부호가 양수이므로, 자취의 \(y \ge 0\) 부분만 사용하며, 반대로 제곱근 앞의 부호가 음수이면, 자취의 \(y \le 0\)만을 사용합니다.

함수의 주요 특징

함수의 특징을 식으로 표현할 수 있습니다.

대칭성

보통, 짝수함수(우함수), 홀수함수(기함수) 정도가 수업시간에 다루어지지만, 문제에서는 다른 형태도 출제되는 경우가 있습니다. 비록 이 수식 관계를 알고 있지 않을지라도, 몇 개의 점을 대입해서 그의 특징을 유추해 볼 수 있습니다.

• \(f(-x)=f(x)\) : 함수 \(f(x)\)는 짝수함수(even function:우함수)이며, 그의 그래프가 \(y\)축에 대해 대칭입니다. 다함함수에서 차수가 짝수인 것들은 이것에 속하기 때문에 짝수함수로 불리는 것으로 보입니다.
• \(f(-x)=-f(x)\) : 함수 \(f(x)\)는 홀수함수(odd function:기함수)이며, 그의 그래프가 원점에 대해 대칭입니다. 다함함수에서 차수가 홀수인 것들은 이것에 속하기 때문에 홀수함수로 불리우는 것으로 보입니다.
• \(f(a+x)=f(a-x)\), \(f(2a-x)=f(x)\) : 그의 그래프가 \(x=a\)에 대해 대칭입니다.
• \(f(a+x)=-f(a-x)\), \(f(2a-x)=-f(x)\) : 그의 그래프가 \((a,0)\)에 대해 대칭입니다.
• \(f(a+x)+f(a-x)=2b\), \(f(x)+f(2a-x)=2b\) : 그의 그래프가 \((a,b)\)에 대해 대칭입니다.

짝수함수와 홀수함수의 연산

고등학교 교과과정에서 \(y\)-축 대칭 또는 원점 대칭인 함수는 꽤 많이 찾아볼 수 있습니다. 게다가, 이런 함수들은 사칙연산에 의해 복합적으로 새로운 함수를 만들기도 합니다.

이런 그래프의 개형을 그릴 때, 짝수함수, 또는 홀수함수인지를 아는 것은 매우 중요한 성질 중에 한 가지임에 틀림이 없습니다. 

• (짝수함수) ± (짝수함수) → (짝수함수)
• (홀수함수) ± (홀수함수) → (홀수함수)
• (짝수함수) × (짝수함수) → (짝수함수)
• (홀수함수) × (홀수함수) → (짝수함수)
• (짝수함수) × (홀수함수) → (홀수함수)

나눗셈도 곱셈과 마찬가지이고, 분모와 분자가 바뀌더라도 결과는 같습니다. 예를 들어,

• (짝수함수) ÷ (짝수함수) → (짝수함수)

다음과 같은 경우는 어느 쪽의 함수도 아닙니다.

• (짝수함수) ± (홀수함수) → (짝수함수) 또는 (홀수함수)가 아닙니다.

짝수함수와 홀수함수 사이의 합성 관계는

• (짝수함수)∘(짝수함수) → (짝수함수)
• (짝수함수)∘(홀수함수) → (짝수함수)
• (홀수함수)∘(짝수함수) → (짝수함수)
• (홀수함수)∘(홀수함수) → (홀수함수)
• (임의의 함수)∘(짝수함수) → (짝수함수)

이런 연산은 암기할 필요가 없는데, 대표적인 함수, 즉, \(y\)-축 대칭은 \(y=x^2\), 원점 대칭은 \(y=x\)로 바꾸어서 생각해도 상관없습니다.

예를 들어, \(y=\sin x\)는 원점 대칭(홀수함수), \(y=\cos x\)는 \(y\)-축 대칭(짝수함수)이므로, \(y=\sin x \cos x\)는 \(y=x \cdot x^2=x^3\)으로 판단하여 홀수함수임을 알아냅니다.

볼록, 오목

함수의 그래프가 곡선으로 이루어져 있을 때, 구간 \(C\)에서,

• \( \forall x_1, x_2 \in C: \;\; f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \le  \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) : (아래로) 볼록한 그래프(위로 오목한 그래프)
• \( \forall x_1, x_2 \in C: \;\; f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \ge  \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) : 아래로 오목한 그래프(위로 볼록한 그래프)

등호의 존재 유무에 따라 엄격한(또는 강한) 볼록, 약한 볼록으로 나뉩니다. 등호가 있을 때, (약한) 볼록으로 불리고, 없으면, 엄격한 볼록이라고 불립니다. 부등식이 없고, 등호로 이루어지면, 직선을 나타냅니다.

주기성

함수 \(f(x)\)가 정의역에 있는 모든 원소 \(x\)에 대하여 

\(\quad\)\(f(x+P)=f(x)\)

를 만족하면, 주기 \(P\)를 갖는 주기함수라고 불리는데, 여기서 \(P\)는 비-영의 상수입니다.

만약 함수 \(f(x)\)가 주기 \(P\)를 갖는 함수이면, \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 그리고 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 

\(\quad\)\(f(x+nP)=f(x)\)

만약 \(f(x)\)가 주기 \(P\)를 갖는 함수이면, \(f(ax)\)는 주기 \(\displaystyle \frac{P}{|a|}\)를 갖는 주기함수인데, 여기서 \(a\)는 비-영의 실수입니다.