등비급수

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See also: Geometric series

등비급수는 등비수열을 무한히 더하는 것을 말합니다. 이전에 논의한, 등비수열의 극한, 급수의 수렴, 발산과 극한값 사이의 관계로부터 등비급수가 수렴하기 위해서는 등비수열이 수렴하는 것 중에 영으로 수렴하는 것만 논의할 필요가 있습니다.

그렇기 때문에 등비수열의 합 중에서 공비의 절댓값이 1보다 작은 경우만 수렴 여부를 확인할 것입니다. 첫 번째 항이 \(a\)이고 공비의 절댓값이 1보다 작은, \(|r| < 1\)에 대해, 등비 급수

\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=\lim_{n \to \infty}S_n\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

는, \(|r| < 1\)일 때, \(\textstyle \lim r^n=0\)이기 때문에, 다음으로 수렴합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\)

그 외에도 초항이 영인 자명한 등비급수는 당연히 영으로 수렴합니다.

급수의 성질

여기서 다루는 급수의 성질은 자명한 경우만을 다룹니다. 다른 성질들은 관련 기사를 참조하십시오.

만약 두 급수 \(\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n\)이 각각 수렴하면

• \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty k a_n= k\sum_{n=1}^\infty a_n\) (여기서, \(k\)는 상수입니다)
• \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n\)
• \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty b_n\)

등비급수의 활용

닮음 도형의 길이, 넓이, 부피의 합을 구할 때, 유한한 개수는 등비수열의 합으로 구할 수 있고, 끝없이 반복되는 무한한 경우는 등비급수를 통해 구할 수 있습니다.

일반적으로 등비수열의 합을 구하는 것이 지수 계산이 있기 때문에, 지수 계산의 값이 주어지지 않는 경우는, 로그를 이용해서 계산해야 하므로 좀 더 복잡합니다.

수렴하는 등비급수의 계산은 위에서 논의한 바처럼, 첫 번째 항과 공비를 구할 수 있으면, 쉽게 계산을 할 수 있습니다. 

닮은 도형에서는 공비를 구하기 위해서 길이비를 구할 수 있으면, 넓이비는 제곱해서, 부피비는 세제곱 해서 구할 수 있기 때문에, 길이비를 구하는 것이 공비를 구하는 것입니다. 게다가, 더하려는 동의 개수가 늘어나는 경우, 예를 들어, 1개에서 2개, 2개에서 4개, 4개에서 8개, 이런 식이면, 구하려는 최종 공비는 앞에서 말한 길이비, 또는 넓이비, 또는 부피비에 늘어나는 개수의 개수비를 곱해서 구할 수 있습니다. 즉, 더하려는 것이 길이이면, 길이비×개수비가 공비이며, 반면에 더하려는 것이 넓이비이면, 넓이비×개수비가 공비가 됩니다.

그러나, 닮음 도형은 아니지만, 비슷한 코크의 눈송이와 같은 프랙탈은 처음 몇 개의 항이 등비급수에서 제외되는 경우가 있으므로, 등비급수의 계산 외에도, 등비급수에 해당하지 않는 처음 몇 개의 항을 별도로 계산해서 더해줘야 합니다.

등비급수와 순환소수

등비급수의 또 하나의 대표적인 예제는 순환마디로 반복되는 순환소수입니다. 예를 들어, 

\(\quad\)\(0.\dot{2}\dot{3}\)=0.2323232323...

\(\quad\)=0.23+0.0023+0.000023+0.00000023+...

은 첫 번째 항이 0.23, 공비가 0.01인 등비급수로 해석할 수 있습니다. 그러므로

\(\quad\)\(\textstyle 0.\dot{2}\dot{3}=\frac{0.23}{1-0.01}=\frac{23}{99}\)

응용예제

응용예제1

그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB_1}}=2\), \(\overline{\mathrm{AD_1}}=4\)인 직사각형 \(\mathrm{AB_1C_1D_1}\)이 있다. 선분 \(\mathrm{AD_1}\)을 \(3:1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{E_1}\)이라 하고, 직사각형 \(\mathrm{AB_1C_1D_1}\)의 내부에 점 \(\mathrm{F_1}\)을 \(\overline{\mathrm{F_1E_1}}=\overline{\mathrm{F_1C_1}}\), \(\angle\mathrm{E_1F_1C_1}=\frac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고 삼각형 \(\mathrm{E_1F_1C_1}\)을 그린다.

사각형 \(\mathrm{E_1F_1C_1D_1}\)을 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 

그림 \(R_1\)에서 선분 \(\mathrm{AB_1}\)위의 점 \(\mathrm{B_2}\), 선분 \(\mathrm{E_1F_1}\) 위의 점 \(\mathrm{C_2}\), 선분 \(\mathrm{AE_1}\) 위의 점 \(\mathrm{D_2}\)와 점 \(\mathrm{A}\)를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{\mathrm{AB_2}}:\overline{\mathrm{AD_2}}=1:2\)인 직사각형 \(\mathrm{AB_2C_2D_2}\)를 그린다. 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 \(\mathrm{AB_2C_2D_2}\)에 삼각형 \(\mathrm{E_2F_2C_2}\)를 그리고 \(\mathrm{E_2F_2C_2D_2}\)를 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 가형 14번]

응용예제2

그림과 같이 한 변의 길이가 5인 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 중심이 \(\mathrm{A}\)이고 중심각의 크기가 \(90^{\circ}\)인 부채꼴 \(\mathrm{ABD}\)를 그린다. 선분 \(\mathrm{AD}\)를 3:2로 내분하는 점을 \(\mathrm{A_1}\), 점 \(\mathrm{A_1}\)을 지나고 선분 \(\mathrm{AB}\)에 평행한 직선이 호 \(\mathrm{BD}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B_1}\)이라 하자. 선분 \(\mathrm{A_1B_1}\)을 한 변으로 하고 선분 \(\mathrm{DC}\)와 만나도록 정사각형 \(\mathrm{A_1B_1C_1D_1}\)을 그린 후, 중심이 \(\mathrm{D_1}\)이고 중심각의 크기가 \(90^{\circ}\)인 부채꼴 \(\mathrm{D_1A_1C_1}\)을 그린다. 선분 \(\mathrm{DC}\)가 호 \(\mathrm{A_1C_1}\), 선분 \(\mathrm{B_1C_1}\)과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{E_1, F_1}\)이라 하고, 두 선분 \(\mathrm{DA_1}\), \(\mathrm{DE_1}\)과 호 \(\mathrm{A_1E_1}\)로 둘러싸인 부분과 두 선분 \(\mathrm{E_1F_1}\), \(\mathrm{F_1C_1}\)과 호 \(\mathrm{E_1C_1}\)로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자.

그림 \(R_1\)에서 정사각형 \(\mathrm{A_1B_1C_1D_1}\)에 중심이 \(\mathrm{A_1}\)이고 중심각의 크기가 \(90^{\circ}\)인 부채꼴 \(\mathrm{A_1B_1D_1}\)를 그린다. 선분 \(\mathrm{A_1D_1}\)를 3:2로 내분하는 점을 \(\mathrm{A_2}\), 점 \(\mathrm{A_2}\)을 지나고 선분 \(\mathrm{A_1B_1}\)에 평행한 직선이 호 \(\mathrm{B_1D_1}\)과 만나는 점을 \(\mathrm{B_2}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{A_2B_2}\)를 한 변으로 하고 선분 \(\mathrm{D_1C_1}\)와 만나도록 정사각형 \(\mathrm{A_2B_2C_2D_2}\)을 그린 후, 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 정사각형 \(\mathrm{A_2B_2C_2D_2}\)에 해당 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\)의 값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 18번]

응용예제3

그림과 같이 \(\overline{\rm{OA_1}}=4,\; \overline{\rm{OB_1}}=4\sqrt{3}\)인 직각삼각형 \(\rm{OA_1B_1}\)이 있다. 중심이 \(\rm O\)이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm{OA_1}}\)인 원이 선분 \(\rm{OB_1}\)과 만나는 점을 \(\rm{B_2}\)라 하자. 삼각형 \(\rm{OA_1B_1}\)의 내부와 부채꼴 \(\rm{OA_1B_2}\)의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자.

그림 \(R_1\)에서 점 \(\rm{B_2}\)를 지나고 선분 \(\rm{A_1B_1}\)에 평행한 직선이 선분 \(\rm{OA_1}\)과 만나는 점을 \(\rm{A_2}\), 중심이 \(\rm O\)이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm{OA_2}}\)인 원이 선분 \(\rm{OB_2}\)와 만나는 점을 \(\rm{B_3}\)이라 하자.삼각형 \(\rm{OA_2B_2}\)의 내부와 부채꼴 \(\rm{OA_2B_3}\)의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n\)의 값은? [4점] [2019학년도 수능 나형 16번]

응용예제4

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 \(\rm{A_1B_1C_1}\)이 있다. 선분 \(\rm{A_1B_1}\)의 중점을 \(\rm{D_1}\)이라 하고, 선분 \(\rm{B_1C_1}\) 위의 \(\overline{\rm{C_1D_1}}=\overline{\rm{C_1B_2}}\)인 점 \(\rm{B_2}\)에 대하여 중심 \(\rm{C_1}\)인 부채꼴 \(\rm{C_1D_1B_2}\)를 그린다. 점 \(\rm{B_2}\)에서 선분 \(\rm{C_1D_1}\)에 내린 수선의 발을 \(\rm{A_2}\), 선분 \(\rm{C_1B_2}\)의 중점을 \(\rm{C_2}\)라 하자. 두 선분 \(\rm{B_1B_2}\),  \(\rm{B_1D_1}\)과 호 \(\rm{D_1B_2}\)로 둘러싸인 영역과 삼각형 \(\rm{C_1A_2C_2}\)의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자.

그림 \(R_1\)에서 선분 \(\rm{A_2B_2}\)의 중점을 \(\rm{D_2}\)라 하고, 선분 \(\rm{B_2C_2}\) 위의 \(\overline{\rm{C_2D_2}}=\overline{\rm{C_2B_3}}\)인 점 \(\rm{B_3}\)에 대하여 중심 \(\rm{C_2}\)인 부채꼴 \(\rm{C_2D_2B_3}\)를 그린다. 점 \(\rm{B_3}\)에서 선분 \(\rm{C_2D_2}\)에 내린 수선의 발을 \(\rm{A_3}\), 선분 \(\rm{C_2B_3}\)의 중점을 \(\rm{C_3}\)이라 하자. 두 선분 \(\rm{B_2B_3}\),  \(\rm{B_2D_2}\)과 호 \(\rm{D_2B_3}\)로 둘러싸인 영역과 삼각형 \(\rm{C_2A_3C_3}\)의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\)의 값은? [4점] [2018학년도 수능 나형 19번]