인수분해

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/인수분해

Main articles: Factorization and Factorization of polynomials

우리는 자연 현상 또는 일상생활에서 생기는 문제를 수학적 모델링을 통해서 수식화하려는 시도를 합니다. 그때 만들어지는 일부는 방정식의 형태를 가지며, 그들을, 예를 들어, 연립방정식을 풀려고 조작하면, 하나의 변수에 대한 다항 방정식이 되는 경우가 있습니다.

이전 과정에서 알고 있는 것처럼, 그것이 이차 (다항)방정식이면 이차 공식(근의 공식)을 통해서 해를 구할 수 있습니다. 물론 이 외에도 삼차, 사차 방정식에 대해, 매우 복잡하긴 하지만, 공식이 있습니다.

또한, "오차 이상의 다항 방정식은 제곱근의 형태로 그의 공식을 만들 수 없다"는 것이 이미 증명되었습니다.

그러나, 대체적으로 풀려는 문제는 이차가 아닌 훨씬 더 복잡한 차수 10, 100, ... 등의 다항 방정식일 수 있습니다.

따라서, 차수에 상관없이 인수분해를 하는 방법이 필요합니다. 이런 것들은 사람이 할 수 없기 때문에, 그의 알고리듬을 개발해서 컴퓨터에서 연산을 수행합니다.

인수분해에서 갑자기 다항 방정식의 해를 구하는 문제를 꺼내서 이상해 보일 수 있겠습니다.

그러나, 다항식(polynomial)과 다항 방정식(polynomail equations)은 원래 같은 식을 공유합니다.

이런 상황에서, 인수분해의 주요 목적은 방정식의 해를 구하기 위하는 것이라고 말할 수 있으며, 대체적으로 인수분해를 통해 만들어지는 두 개 이상의 다항식은 원래 다항식의 차수보다 작아지고, 따라서, 간단해 보여서 그것을 해결할 수 있는 (직관적인) 방법을 찾기가 더 쉬워지지 때문입니다. 하지만, 인수분해를 했을 때, 식이 더 복잡해지는 경우도 있는데, \(x^5-1\) 등이 있습니다.

예를 들어, 다음과 같은 방정식을 생각해 보십시오.

\(\quad\)\(x^5-4x^4+2x^3-2x^2+21x-18=0\)

이 방정식을 푸는 것이 어려워 보이지만, 다음과 같이 인수분해가 되면, 해는 쉽게 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\((x-1)(x-2)(x-3)(x^2+2x+3)=0\)

보통 인수분해는 다항식의 계수가 유리수이면, 유리수 근을 찾기 위해, 유리수 계수를 갖도록 인수분해하기를 원합니다. 이 기사는 유리수 계수의 범위에서 인수분해를 수행할 것입니다. 이것의 확장은 복소수의 정의를 배운 후에 이루어집니다.

그렇지만, 유리수 계수를 갖는 모든 각 다항식이 유리수 근을 갖지는 않기 때문에, 유리수 근을 갖는지를 테스트해야 합니다. 이때, 사용하는 것이 이전에 배운 인수정리 등의 방법입니다.

인수정리에서, 만약 나눗셈의 결과로 나머지가 0이면, 원래 다항식(나누어지는 식)은 오직 나누는 식과 몫의 곱으로 표현되므로, 각각은 인수라고 부릅니다.

게다가, 인수정리로 구하기 힘든 경우에 대해, 전부는 아니지만, 곱셈공식의 왼쪽 변과 오른쪽 변을 바꾼 식을 사용할 수 있습니다.

한편, 근을 직접 구할 수 없는 다항식의 가장 간단한 형태인 이차 다항식의 인수분해는, 이전 과정에서 연습한, 그림의 방식을 그대로 사용할 수 있습니다.

\(\quad\)\(acx^2+(ad+bc)x+bc\)

\(\quad\)\(=(ax+b)(cx+d)\)

2차항의 계수가 1일 때에는 \(a=c=1\)을 사용하시면 편하게 구할 수 있습니다.

인수분해 공식

다항식의 전개 과정을 역과정이 인수분해 과정이기 때문에, 곱셈공식의 왼쪽 변과 오른쪽 변을 바꾸어 놓으면 인수분해 공식이 됩니다.

1. \(ma\pm mb = m(a\pm b)\)

2. \(a^2\pm 2ab+b^2 = (a\pm b)^2\)

3. \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)

4. \(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)\)

5. \(acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\)

6. \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2\)

7. \(a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 = (a\pm b)^3\)

8. \(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)

9. \((a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = (a+b)(b+c)(c+a)\)

10. \(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(\quad\)\(\;\;=\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}\)

11. \(a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)

12. \(x^n-1=\left(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\right)\)

인수분해에서 가장 먼저 나오는 공식은 공통부분을 묶어내는 것입니다. 공통부분을 묶어내면 식이 간단해지기 때문에 인수분해를 좀 더 쉽게 할 수 있습니다.

복잡한 식의 인수분해가 잘 안 될 때에는 이 과정을 빠뜨렸는지 먼저 확인을 해야 합니다.

8번 공식은 앞쪽 인수의 부호가 원래 식의 부호와 일치합니다. 뒤쪽 인수는 중간부호가 반대가 됨을 기억해 두시기 바랍니다.

응용예제

응용예제1

다음 식을 인수분해하여라.

(1) \(a(x-y)-b(y-x)\)

해설) 음의 부호를 두고 앞뒤가 바뀐 식은 항상 같은 인수를 가집니다. 서로 간의 위치가 바뀌었다는 것은 \(-1\)을 곱했다는 것을 의미함으로, \(-1\)을 묶어내면 같은 인수로 바뀌게 됩니다.

\(\quad\)\(\begin{array}{rl} 
(\mathrm{준식}) & =a(x-y)-b(y-x) \\
& =a(x-y)+b(x-y) \\
& =(x-y)(a+b) \end{array}\)

(2) \(x^4-16\)

해설) 별도의 지면에서 복이차식으로 소개가 될 것입니다.

\(\quad\)\(\begin{array}{rl} 
(\mathrm{준식}) & =(x^2)^2-4^2 \\
& =(x^2+4)(x^2-4) \\
& =(x^2+4)(x^2-2^2) \\
& =(x^2+4)(x+2)(x-2) \end{array}\)

응용예제2

다음 식을 인수분해하여라.

(1) \(x^3-3x^2+3x-1\)

해설) 인수분해 공식에 따라 \((x-1)^3\)이 정답입니다.

(2) \(8x^3-y^3\)

해설) 인수분해 공식에 따라 \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)이 정답입니다.

응용예제3

\(6^6-1\)이 두 자리의 자연수 \(n\)으로 나누어떨어지도록 하는 모든 \(n\)의 값은 합은?

응용예제4

이등변삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 두 변은 길이는 \(\mathrm{\overline{AB}}=\mathrm{\overline{AC}}=4\)입니다. 그림과 같이 변 \(\mathrm{AB}\) 위에 두 점 \(\mathrm{L_1, L_2}\)를 잡고, 두 점 \(\mathrm{L_1, L_2}\)에서 변\(\mathrm{AC}\)와 평행한 직선을 그어 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{M_1, M_2}\)라고 하고, \(\mathrm{M_1, M_2}\)에서 변 \(\mathrm{AB}\)와 평행한 직선을 그어 변 \(\mathrm{AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{N_1, N_2}\)라고 하고, 또한 선분 \(\mathrm{L_1M_1}\)과 선분 \(\mathrm{L_2M_2}\)의 교점을 \(\mathrm{D}\)라 놓습니다. (단, \(\overline{\mathrm{AL_1}} < \overline{\mathrm{AL_2}}\))

\(\overline{\mathrm{AL_1}} \cdot \overline{\mathrm{L_2B}}=1\)이고, 세 삼각형 \(\mathrm{L_2BM_2},\;\mathrm{DM_2M_1},\;\mathrm{N_1M_1C}\)의 넓이의 합이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 \(\frac{1}{2}\)이 되도록 두 점 \(\mathrm{L_1},\;\mathrm{L_2}\)를 잡을 때, \(\overline{\mathrm{AL_1}}^3+\overline{\mathrm{BL_2}}^3\)의 값은?

응용예제5

\(a,b,c\)가 삼각형의 세 변의 길이일 때, 다음 등식을 만족합니다.

\(\quad\)\((a+b)^2(a^2+b^2)+c^4=2(a^2+b^2+ab)c^2\)

이 삼각형은 어떤 삼각형인가

\(\quad\)(가) 정삼각형

\(\quad\)(나) \(a=b\)인 이등변 삼각형

\(\quad\)(다) 빗변의 길이가 \(c\)인 직각삼각형

\(\quad\)(라) 빗변의 길이가 \(a\)인 직각삼각형, 또는 \(b=c\)인 이등변 삼각형

\(\quad\)(마) 빗변의 길이가 \(b\)인 직각삼각형, 또는 \(a=c\)인 이등변 삼각형

응용예제6

\(\displaystyle \frac{7^4+64}{3^4+64}\times \frac{15^4+64}{11^4+64}\times \frac{23^4+64}{19^4+64}\)의 값은?

응용예제7

\(a+b=1\)이고, \(a^2+b^2=-1\)일 때, \(a^{11}+b^{11}\)의 값을 구하시오.

응용예제8

계수가 모두 정수인 일차 이상의 두 다항식 \(f(x),\;g(x)\)가 다음 등식을 만족시킵니다.

\(\quad\)\(f(x)g(x)=x^4-3x^3+x^2+4\)

다항식 \(f(x)+g(x)\) 중에서 차수가 가장 낮은 다항식을 \(A(x)\), 차수가 가장 높은 다항식을 \(B(x)\)라 할 때, \(A(2)-B(2)\)의 값을 구하시오. (단, \(A(x),\;B(x)\)의 최고차항의 계수는 자연수입니다.)

응용예제9

세 실수 \(a,b,c\)가 다음 두 조건을 만족할 때, \(a,b,c\)의 값을 구하여라.

\(\quad\)\(a^2+b^2+c^2=1, a+b+c=\sqrt{3}\)

응용예제10

\(x+y+z=1\), \(x^2+y^2+z^2=3\), \(x^3+y^3+z^3=1\)일 때, 다음 값을 구하여라.

\(\quad\)(ㄱ) \(xyz\;\;\;\) (ㄴ) \(\displaystyle \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)

응용예제11

다항식 \(P=a^3+8b^3-c^3+6abc\)에 대하여, \(a,b,c\)가 \(a+2b-c=1\)을 만족하는 정수일 때, \(P\)를 6으로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제12

그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=8\)인 이등변삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 있다. 변 \(\mathrm{AB}\) 위에 \(\overline{\mathrm{AP_1}}=a\), \(\overline{\mathrm{P_1P_2}}=b\), \(\overline{\mathrm{BP_2}}=c\)인 두 점  \(\mathrm{P_1}\),  \(\mathrm{P_2}\)를 잡고 변 \(\mathrm{AC}\)와 평행한 직선을 그어 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{Q_1}\),  \(\mathrm{Q_2}\), 두 점 \(\mathrm{Q_1}\),  \(\mathrm{Q_2}\)에서 변 \(\mathrm{AB}\)와 평행한 직선을 그어 변 \(\mathrm{AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{R_1}\),  \(\mathrm{R_2}\)라 하자. 색칠한 부분의 넓이가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 \(\frac{1}{2}\)일 때, \(a^3+b^3+c^3-3abc\)의 값을 구하시오.

응용예제13

다음과 같이 부피가 서로 다른 네 종류의 나무토막 \(\mathrm{A,B,C,D}\)가 있다. 그림에서, \(\sqrt{5}\) 대신에 \(x\)로 바꾸어서 문제를 푸십시오

이 나무토막 \(\mathrm{A,B,C,D}\)를 한 개 이상을 사용하여 부피가 280인 직육면체를 만들었다. 사용된 전체 나무토막의 개수가 \(n\)일 때, \(n\)의 최솟값은? (단, \(x\)는 2 이상의 양의 정수이다.) 

응용예제14

세 변의 길이를 \(x,y,z\;(x>y>z)\)로 갖는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 다음을 모두 만족시킨다.

\(\quad\)\(x^2+y^2+z^2=10,\;x^4+y^4+z^4=40\)

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오.