음함수의 미분법

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/암시적_함수의_미분법

Main article: Implicit function

암시적 함수는 기존의 음함수를 대체하고, 명시적 함수는 양함수를 대체합니다.
포물선, 타원, 쌍곡선은, 함수라고 말하지 않고, 월뿔곡선 또는 이차곡선이라고 말하는데, 왜냐하면 준선이 \(x\)-축에 평행한 포물선을 제외하고, 실수 \(x\)에서 \(y\)로의 함수로 나타낼 수 없기 때문입니다.
보통의 함수는 정의역 \(x\)에 대한 대응관계 \(y=f(x)\)를 나타냅니다. 

예를 들어, 함수 \(y=\sqrt{1-x^2}\)은 반지름 1의 원 중에서 \(y\)-좌표가 비-음이 값을 갖는 반원을 나타냅니다.
또한, 이 반원의 \(x\)-축 대칭은, 대칭이동에 의해, \(y\)의 부호가 반대가 되어, 다음처럼 함수로 표시될 수 있습니다.
\(\quad\)\(y=-\sqrt{1-x^2}\)
반면에, 원은 (명시적) 함수라고 표현할 수 없는데, 왜냐하면, 하나의 \(x\)의 원소에 대해 2개의 \(y\) 값을 가지기 때문입니다.
어쨌든, 위의 두 함수를 1개로 합쳐 놓은 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을, 일반형으로 바꾸어서, \(x^2+y^2-1=0\)와 같이 적고, 이것을 암시적 함수 표현이라고 합니다.
일반적으로 \(x\)와 \(y\)의 값을 적절히 잘 정하면, \(y\)는 \(x\)의 함수가 되는
\(\quad\)\(f(x,y)=0\)
꼴을 \(y\)의 \(x\)에 대한 암시적 함수 표현이라고 합니다. 

암시적 함수의 미분법

도함수는 곡선에 접하는 직선의 기울기를 구하는 것에 자주 이용되는데, 도함수의 정의
\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
는 곡선이 함수로 표현될 때, 미분을 수행할 수 있습니다. 
물론, 원은, 위에서 소개한 것처럼, 2개의 함수로 나타내어, 각각, 미분을 수행할 수 있습니다. 그러나, 매번 이런 식으로 함수를 구하는 것이 귀찮을 뿐만 아니라, 다른 곡선은 암시적 함수를 (명시적) 함수로 나타낼 수 없는 경우도 있습니다.
만약, 주어진 곡선이, 위의 원과 같은 경우처럼, 함수는 아니지만, 암시적 함수로 표현이 될 때, 접선을 구하기 위해, 미분을 수행할 필요가 있는데, 이 과정을 암시적 함수의 미분법이라고 부릅니다.
암시적 함수의 미분법은 합성함수의_미분법, 즉 체인 규칙을 사용해서 미분을 수행합니다.
예를 들어, 위의 원의 방정식, \(x^2+y^2=1\)에서, \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) 다음과 같이 미분됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx^2}{dx}+\frac{dy^2}{dx}=\frac{d}{dx}(1)\)
\(\quad\)\(\displaystyle 2x+\frac{dy^2}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=0\)
\(\quad\)\(\displaystyle 2x+2y \cdot \frac{dy}{dx}=0\)
따라서, 역원이 존재하지 않는 경우를 제외하고, 즉 \(y\neq 0\)에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)

미분 연산자

미분을 연산자로 이해하고 미분을 수행할 수 있습니다.
\(\quad\)\(D(x^2)+D(y^2)=D(1)\)
미분은 이전 과정에서의 공식에 의해 결과를 얻고, 어떤 변수에 대해 미분했는지를 표시합니다. 어쨌든, 상수는 미분하면 0입니다.
\(\quad\)\(2x\cdot dx + 2y\cdot dy = 0\)
이제 구하려는 도함수가 \(x\)에서 \(y\)로의 함수에 대한 것이라면, 양쪽 변을 \(dx\)로 나누어서,
\(\quad\)\(\displaystyle 2x+2y \cdot \frac{dy}{dx}=0\)
여기서, \(dx\)는 무한소 양, 즉, 0은 아니기 때문에, 그것으로 나눌 수 있습니다.
게다가, 역함수의 미분법에서 다룬 \(\displaystyle \frac{dx}{dy}\)를 구하고 싶다면, 양쪽 변을 \(dy\)로 나누어서,
\(\quad\)\(\displaystyle 2x\cdot \frac{dx}{dy} + 2y = 0\)
따라서, 역원이 존재하지 않는 경우를 제외하고, 즉 \(x\neq 0\)에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx}{dy}=-\frac{y}{x}\)
미분 연산자는 함수로 표현되었을 때에도 역시 이용할 수 있습니다.
예를 들어, \(y=x^3+3x^2-4x+3\)에 대해서
\(\quad\)\(D(y)=D(x^3)+D(3x^2)-D(4x)+D(3)\)
\(\quad\)\(1\cdot dy = 3x^2\cdot dx + 6x \cdot dx -4 \cdot dx + 0\)
양쪽 변을 \(dx\)로 나누면,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-4\)
함수는, 미분 공식을 이용하는 것이 더 편하기 때문에, 미분 연산자를 이용하지는 않지만, 반면에 암시적 함수는 미분 연산자를 이용하는 것이 간편하고 역함수의 미분법 등에 이용할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

두 상수 \(a,\;b\;(a<b)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를
\(\quad\)\(f(x)=(x-a)(x-b)^2\)
이라 하자. 함수 \(g(x)=x^3+x+1\)의 역함수 \(g^{-1}(x)\)에 대하여 합성함수 \(h(x)=\left(f \circ g^{-1}\right)(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(8)\)의 값을 구하시오. [4점] [2021학년도 수능 가형 28번]
\(\quad\)(ㄱ) 함수 \((x-1)|h(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
\(\quad\)(ㄴ) \(h'(3)=2\)

응용예제2

실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)=\tan x\; \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)\)의 그래프와 직선 \(y=t\)가 만나는 점을 \(\rm P\)라 할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\rm P\)에서 그은 접선의 \(x\)절편을 \(g(t)\)라 하자. \(g'(2)\)의 값은?