지수방정식과 지수부등식에의 활용

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일정한 비율로 증가하거나 감소하는 양을 함수로 나타내면 지수함수로 표현됩니다.

복리법에 의한 원리합계의 증가 : 원금\(a\), 연이율\(r\), \(n\)년 후의 원리합계는

• \(a \rightarrow a(1+r) \rightarrow a(1+r)^2 \rightarrow \cdots \rightarrow a(1+r)^n\)

인구증가 : \(1\)년마다의 인구 증가율이 \(p\%\)일 때, \(n\)년 후의 인구수는

• \(a \rightarrow a\left(1+\frac{p}{100}\right) \rightarrow a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2 \rightarrow \cdots \rightarrow a\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\)

여과장치를 한 번 통화할 때마다 오염물질이 \(p\%\)씩 감소할 때, \(n\)회 통과한 후의 오염물질의 양은

• \(a \rightarrow a\left(1-\frac{p}{100}\right) \rightarrow a\left(1-\frac{p}{100}\right)^2 \rightarrow \cdots \rightarrow a\left(1-\frac{p}{100}\right)^n\)

반감기 : 방사성 동위원소의 반감기가 \(T\)일 때, \(t\)후의 양은 \(t/T = n\)를 구해서

• \(a \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)a \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2 a \rightarrow \cdots \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n a\)

반감기가 정수로 떨어지지 않을 때에는 \(\left[t/T\right]=n\)으로 계산하고 \(\left(\frac{1}{2}\right)^n a >\ \)현재량\(\ > \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} a\)

처음의 양을 \(a\), 한 번 시행할 때마다의 증가율을 \(r\)라 하고, \(n\)번 시행 후에 처음 양의 \(k\)배 이상이 된다고 하면

• \(a(1+r)^n \geq ka\)

증가할 때는 부호가 \(+\)이고, 감소할 때에는 부호가 \(-\)입니다. 증가율과 감소율은 반드시 실숫값으로 표현해야 함도 주의해 두어야 합니다.