정적분의 성질

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/정적분의_성질

Main article: Integral

부정적분#부정적분의 성질에서 부정적분은 합계의 성질을 따르기 때문에, 실수배, 덧셈, 및 뺄셈의 성질을 가짐을 알아보았습니다.

물론, 정적분도 부정적분 후에 숫자를 대입하기 때문에, 부정적분의 성질을 그대로 따릅니다. 즉,

• \(\displaystyle \int_a^b kf(x) dx=k \int_a^b f(x)dx\) (단, \(k\)는 상수)
• \(\displaystyle \int_a^b \left\{f(x)+g(x)\right\} dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\) 
• \(\displaystyle \int_a^b \left\{f(x)-g(x)\right\} dx=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx\) 

물론 시그마의 성질에서 변수의 시작점과 끝점이 같아야 성립하는 것처럼, 그리고, 로그의 성질에서 양쪽 변의 밑이 서로 같아야 성립하는 것처럼, 정적분의 성질도 양쪽 변의 아래끝과 위끝이 같을 때에만 성립합니다.

증명

정적분의 성질의 증명은 너무 간단하여 소개할 필요는 크게 느끼지는 않습니다. 어쨌든, 증명은 왼쪽 식이 오른쪽 식과 같음을 보임으로써 끝나기 때문에, 왼쪽 식을 점점 오른쪽 식으로 바꾸는 방법이 이용되기도 하지만, 왼쪽 식의 결과와 오른쪽 식의 결과가 같음을 보여도 좋겠습니다.

함수 \(f(x),\;g(x)\)의 부정적분 중 하나를, 각각, \(F(x),\;G(x)\)라 하면

\(\quad\)\(\begin{align}
\int_a^b kf(x)dx & =\left[kF(x)\right]_a^b \\
& =kF(b)-kF(a) \\
& =k \left(F(b)-F(a)\right) \\
& =k \int_a^b f(x)dx \\
\end{align}\)

증명 끝.

또는

\(\quad\)\(\begin{align}
\int_b^a kf(x)dx & =\left[kF(x)\right]_a^b \\
& =kF(b)-kF(a)\;\cdots(1)
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
k\int_a^b f(x)dx & =k\left[F(x)\right]_a^b \\
& =k\left(F(b)-F(a)\right) \\
& =kF(b)-kF(a)\;\cdots(2)
\end{align}\)

식 (1)과 (2)의 결과 식이 서로 같으므로, 원래 식도 서로 같습니다. 즉,
\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx\)

증명 끝.

다른 식들도 이렇게 증명할 수 있습니다.

정적분의 연결

임의의 두 정적분에서, 아래끝과 위끝이 서로 같으면, 두 정적분을 하나의 정적분으로 표시할 수 있으며, 마찬가지로 여러 개의 정적분이 연속적으로 아래끝과 위끝이 같으면, 하나의 정적분으로 표시할 수 있습니다.

임의의 실수 \(a,b,c\)를 포함하는 구간에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(x)\)의 부정적분 중에 하나를 \(F(x)\)라고 놓으면

\(\quad\)\(\begin{align}
& \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \\
& = \left[F(x)\right]_a^c + \left[F(x)\right]_c^b \\
& = \left\{F(c)-F(a)\right\} +\left\{F(b)-F(c)\right\} \\ 
& = F(b) - F(a) \\
& = \int_a^b f(x)dx \\
\end{align}\)
그림처럼, 함숫값이 전부 양수라면, 정적분의 결과는 넓이와 동일하므로, \(a \to c \to b\)의 넓이는 \(a \to b\)까지 넓이로 생각할 수 있습니다.

물론, \(a \to c \to d \to e \to b\)의 넓이는 \(a \to b\)의 넓이로 생각할 수 있으므로, 연결된 구간이 몇 개라도 하더라도, 이 성질은 항상 성립됩니다. 
주의할 점은 임의의 점이라는 사실로써, 구간의 아래끝과 위끝들의 대소관계는 결정되어 있지 않다는 점입니다. 예를 들어, \(a \to b \to c\)의 정적분은 \(a \to c\)의 정적분과 같습니다.