이차함수의 최대 최소

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차함수의_최대_최소

이차함수 편에서 이차함수의 특징 등에 대해서 알아보았습니다. 여기서는 실수 전체 범위에서 최댓값과 최솟값을 구해 보거나, 정의역에 제한을 두었을 때 최댓값, 최솟값을 구해보는 과정을 알아보겠습니다.
함수 편에서 어떤 값(함숫값, 최댓값, 최솟값, 극댓값, 극솟값 등)은 치역에 해당됩니다. 대부분 \(f:X\rightarrow Y\)로의 함수를 다루므로 \(y\)좌표를 구하는 것입니다. 그렇지 않을 때에는 문제에서 확실한 차이를 보이니 혼동될 일이 없습니다.

또한, 함수의 값들은 종속 좌표, 즉, x에 값을 대입했을 때 평가되는 값이기 때문에, 아래에 주어진 공식처럼 보이는 것에서, y-좌표에 해당하는 것은 외울 필요가 없습니다.

전범위

이차함수의 표준형을 알고 있다면, 최고차항의 부호에 따라 최댓값 또는 최솟값을 구할 수 있습니다. 물론 일반형일 때에는 표준형으로 바꾸어 최댓값, 최솟값을 구할 수 있습니다. 일반형을 표준형으로 바꿀 때에는 수식을 외우지 않고, 대칭축만 구하는 방법을 이용하는 것이 좋습니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)에 대한 최댓값, 최솟값은 다음과 같이 구해집니다.
1) \(a>0\)이면

아래로 볼록입니다.
꼭짓점의 \(\displaystyle x=-\frac b{2a}\)좌표에서
최솟값 \(\displaystyle y=\frac{b^2-4ac}{4a}\)를 갖습니다.
그러나 최댓값은 존재하지 않습니다.

2) \(a<0\)이면

위로 볼록입니다.
꼭짓점의 \(\displaystyle x=-\frac b{2a}\)좌표에서
최댓값 \(\displaystyle y=\frac{b^2-4ac}{4a}\)를 갖습니다.
그러나 최솟값은 존재하지 않습니다.

제한된 범위

정의역이 제한되어 있을 때에는 주어진 정의역에 따라 최댓값과 최솟값이 둘 다 존재할 수도 있고, 구할 수 없는 경우도 있습니다. 그러므로 주어지는 정의역을 잘 살펴보아야 합니다.
제한된 범위일 때는 다음의 순서로 그래프의 개형을 그려서 최댓값, 최솟값을 구합니다.

이렇게 하는 이유는 최대한 간단히 해서 이해력을 돕고 혼동을 피하기 위함입니다. 충분한 연습 뒤에는, 보다 실제와 비슷한 개형을 그리는 것이 어려운 일이 아닙니다.

\(a>0\)이면 그래프를 \(x\)축 위에 그립니다. \(a<0\)이면 그래프를 \(x\)축 아래에 그립니다.
\(a\)의 부호를 보고 \(x\)축을 그립니다. 여백의 위치를 잘 잡아서 그립니다.
대칭축의 좌표를 구합니다.
이차함수의 개형을 그리고 꼭짓점에서 \(x\)축에 수선의 발을 내립니다.
수선의 발에 대칭축의 좌표를 적어줍니다.
정의역의 끝점을 표시합니다. 당연히 대칭축의 좌표와 비교해서 표시를 해야 합니다.
\(x\)축과 수직으로 선을 그어서 이차함수와 만나는 지점까지 점선을 연결합니다.
끝점에 등호가 있으면 만나는 점을 검게 채운 동그라미를 그리고, 등호가 없으면 조그마한 빈 동그라미를 그려줍니다.
이차함수에서 끝점의 사이를 굵게 또는 빗금으로 덧칠해 줍니다.
최댓값 최솟값을 구합니다.

최댓값과 최솟값을 구할 때 \(y\)축은 반드시 필요한 것은 아니며, 대칭축을 구함으로써 값을 구할 수 있습니다.

경우1

제한된 정의역의 끝점에 등호가 둘 다 있으면, 항상 최댓값과 최솟값이 존재합니다.

꼭짓점 포함

예를 들어, \(y=x^2-2x+3\, (0\leq x\leq 3)\)의 최댓값과 최솟값을 구해 봅니다.

대칭축이 \(x=1\)이므로 영역 안에 포함됩니다. 그래서 \(x=1\)을 대입해서 \(y=2\)을 구하고, 이 좌표가 최솟값이 됩니다.
최댓값은 대칭축으로부터 멀리 떨어질수록 \(y\)좌표가 커지게 되므로, \(x=3\)에서 최댓값 \(y=6\)을 갖게 됩니다.

꼭짓점 제외

예를 들어, \(y=x^2-2x+3\, (2\leq x\leq 3)\)의 최댓값과 최솟값을 구해 봅니다.

대칭축이 \(x=1\)이므로 영역 안에 포함되지 않습니다. 그래서 대칭축에서 가까울수록 \(y\)좌표가 작습니다.
\(x=2\)에서 최솟값 \(y=3\)을 갖고, \(x=3\)에서 최댓값 \(y=6\)을 갖습니다.

경우2

제한된 영역의 끝점의 등호에 따라 최댓값과 최솟값은 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있습니다.

이차함수 \(y=f(x)\, (\alpha<x\leq \beta)\)인 경우를 보면,

대칭축 \(x=\beta\)를 포함하므로 최솟값이 존재합니다.
그러나 \(x=\alpha\)를 포함하지 않으므로 최댓값은 존재하지 않습니다.

이 경우에 \(\beta\)의 위치가 꼭짓점이 아니고 더 오른쪽에 위치하면 상황이 달라질 수도 있습니다. 꼭짓점에서 \(\alpha\)까지의 거리보다 꼭짓점에서 \(\beta\)까지의 거리가 작으면 최댓값이 존재하지 않습니다. 그러나 같거나 커지면 최댓값이 존재하게 됩니다.

이차함수 \(y=f(x)\, (\alpha\leq x < \beta)\)인 경우를 보면,

대칭축 \(x=\beta\)를 포함하지 않으므로 최솟값이 존재하지 않습니다.
그러나 \(x=\alpha\)를 포함하므로 최댓값은 존재합니다.

이 경우에도 \(\beta\)의 위치가 꼭짓점이 아니고 조금이라도 더 오른쪽에 위치하면 꼭짓점이 최솟값 \(\alpha\)에서 최댓값이 발생합니다. 그러나 꼭짓점에서 \(\alpha\)까지의 거리보다 꼭짓점에서 \(\beta\)까지의 거리가 커지면 최댓값이 존재하지 않습니다.
이 예제에서 보듯이 등호의 존재유무와 꼭짓점과 끝점의 위치에 따라 최댓값, 최솟값의 존재유무도 바뀔 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

평면 위의 세 점 \(\mathrm P(p,0), \mathrm Q(1,q), \mathrm R(r,1)\)이 정삼각형의 꼭짓점이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(0 \le p \le 1\), \(0 \le r \le 1\))
\(\quad\)(가) \(q,r\)을 각각 \(p\)로 나타내시오.
\(\quad\)(나) 이 정삼각형 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

응용예제2

두 양의 실수 \(x,y\)가 \(x^2-2y^2+2xy-6=0\)을 만족할 때, \(xy(x-y)(x+2y)\)의 최댓값을 구하시오.

응용예제3

원 \(x^2+(y-1)^2=1\) 위의 점 \(P\)와 이차함수 \(y=x^2-1\)의 그래프 위의 점 \(Q\)에 대하여 선분 \(PQ\)의 길이의 최솟값은?

응용예제4

그림과 같이 어느 호수에 설치된 분수의 한 물줄기는 포물선 모양으로 나타나고, 이 물줄기의 시작 지점과 끝 지점 사이의 거리는 \(3m\), 수면으로부터의 최고 높이는 \(\frac{9}{4}m\)입니다. 물줄기의 시작 지점으로부터 뒤쪽으로 \(1m\) 떨어진 지점에서 쏘아 올린 레이저가 이 물줄기와 맞닿을 때, 레이저와 물줄기가 만나는 지점의 수면으로부터의 높이를 구해 보십시오. (단, 물줄기의 시작 지점과 끝 지점, 레이저는 한 직선 위에 있습니다.)

응용예제5

\(\displaystyle -\frac{1}{2} \le x-a \le \frac{1}{2}\)에서 이차함수 \(y=x^2-2x+3\)의 최댓값과 최솟값의 차가 2가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

응용예제6

\(1 \le x \le 4\)에서 이차함수 \(y=x^2+2ax+6a+1\)의 최솟값이 26일 때, 최댓값은? (단, \(a\)는 정수입니다.)

응용예제7

오른쪽 그림과 같이 밑변의 길이가 10, 높이가 5인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 내접하는 직사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 넓이가 최대일 때, 직사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 둘레의 길이는?

응용예제8

구간 \(-3 \le x \le 3\)에 대해, 이차함수 \(f(x)=-x^2+2kx-2k\)의 최댓값이 8이 되도록 상수 \(k\)값을 모두 구하여라.

응용예제9

이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 전부 만족시킵니다.
\(\quad\)(가) \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)-축과의 교점의 \(x\)-좌표는 2, 6입니다.
\(\quad\)(나) \(5 \le x \le 7\)에서 이차함수\(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,m\)이라 할 때, \(|M| < |m|\)이고 \(|M|=9\)입니다.
\(1 \le x \le 4\)에서 이차함수 \(f(x)\)의 최댓값은?

응용예제10

그림과 같이 \(\angle\mathrm{A}=90^\mathrm{o}\)이고, \(\overline{\mathrm{AB}}=10\), \(\overline{\mathrm{AC}}=9\)인 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 있습니다. 변 \(\mathrm{BC}\) 위의 한 점 \(\mathrm{P}\)에서 변 \(\mathrm{AC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{R}\)이라 놓습니다. 사각형 \(\mathrm{AQPR}\)의 넓이의 최댓값은? (단, 점 \(\mathrm{P}\)는 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)와 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)가 아닙니다.)

응용예제11

넓이가 3인 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 변 \(BC\)에 평행한 직선이 두 변 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{D,E}\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{DE}\)를 접는 선으로 하여 이 삼각형을 접어 겹치는 부분, 즉 색칠한 부분의 넓이를 최대로 하려고 한다. 이때, 최대 넓이는?

응용예제12

구간 \(3 \le x \le 5\)일 때, \(y=|x^2-4x|-2x+1\)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

응용예제13

구간 \(a \le x \le a+2\)에서, 이차함수 \(y=x^2\)의 최댓값과 최솟값의 차가 3입니다. 상수 \(a\)의 값은?

응용예제13-1

\(a \le x \le a+1\)에서 함수
\(\quad\)\(f(x)=\left\{
\begin{align}
&x^2-4x+3 & (x \ge 0) \\
&2x^2+4x+3 & (x < 0) \\
\end{align}\right.
\)
의 최댓값과 최솟값의 차가 1이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 개수와 합을 각각 \(\alpha,\;\beta\)라고 할 때, \(\alpha+\beta\)의 값은?

응용예제14

\(x\)가 실수일 때, \(\displaystyle \frac{ax^2+8x+b}{x^2+1}\)의 최댓값이 9, 최솟값이 1이 되도록 실수 \(a,b\)의 값을 정하시오.

응용예제15

그림과 같이 \(\mathrm{AB}=4\), \(\mathrm{BC}=3\), \(\angle\mathrm{B}=90^\mathrm{o}\)인 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 꼭짓점 \(\mathrm{B,C}\)를 각각 중심으로 하는 두 원이 서로 외접하고 있습니다. 원 \(\mathrm{B}\)와 변 \(\mathrm{AB}\)의 교점을 \(\mathrm{P}\), 원 \(\mathrm{C}\)와 변 \(\mathrm{AC}\)의 교점을 \(\mathrm{Q}\)라 할 때,
\(\quad\)(ㄱ) \(\triangle\mathrm{APQ}\)의 넓이가 최대일 때, 선분 \(\mathrm{BQ}\)의 길이를 구하여라.
\(\quad\)(ㄴ) 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이가 최소일 때, 선분 \(\mathrm{BP}\)의 길이를 구하여라.

응용예제16

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 변 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{BP}\)의 중점을 \(\mathrm{Q}\)라고 놓습니다. 또한, 두 점 \(\mathrm{P, Q}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 평행한 선을 각각 그어서 변 \(\mathrm{AC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{S, R}\)이라고 놓습니다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이가 24일 때, 사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 넓이의 최댓값을 구하여라. 또한 위의 #응용예제11을 참조하십시오.

응용예제17

실수 \(a\)에 대하여 \(a \le x \le a+3\)에서 이차함수 \(f(x)=x^2-4x+5\)의 최댓값이 \(p\), 최솟값이 \(q\)일 때, \(p+q\)의 최솟값을 구하면?

응용예제18

실수 \(x,y\)가 \(x^2+y^2+xy=3\)을 만족할 때, \(x+y-xy\)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

응용예제19

그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=6\), \(\overline{\mathrm{BC}}=8\), \(\overline{\mathrm{CA}}=10\)인 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 두 꼭짓점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)를 각각 두 원 \(O_1,O_2\)가 서로 외접하고 있다. 변 \(\mathrm{AC}\)와 원 \(O_1\)과의 교점을 \(\mathrm{P}\), 변 \(\mathrm{BC}\)와 원 \(O_2\)와의 교점을 \(\mathrm{Q}\)라 할 때, \(\overline{\mathrm{PQ}}^2\)의 최솟값은 \(\displaystyle \frac{b}{a}\)이다. \(ab\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 서로소인 자연수이다.)

응용예제20

\(x\)-축 위의 점 \(\mathrm{A}\), 이차함수 \(y=2-x^2\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{B}\)에 대하여 두 점 \(\mathrm{A,B}\)의 \(x\)-좌표는 각각 –1 이상 1 이하이다. \(x\)-축 또는 \(y\)-축과 평행한 선분들을 이용하여 두 점 \(\mathrm{A,B}\)를 가장 짧은 경로로 연결하였을 때, 이 경로의 길이의 최댓값을 구하시오.

응용예제21

실수 \(a\)에 대하여 \(a \le x \le a+1\)에서 이차함수 \(y=-x^2+4x\)의 최댓값을 \(M(a)\), 최솟값을 \(m(a)\)라 하자. 함수 \(y=M(a), y=m(a)\)에 대하여 두 함수의 최댓값의 합을 \(k\)라 할 때, \(8k\)의 값은?

응용예제22

그림과 같이 두 이차함수의 그래프가 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A,B}\)라 하고, 직선 \(x=k\)와 두 이차함수의 그래프가 만나는 점을 각각 \(\mathrm{C,D}\)라 하자. 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 \(k=a\)일 때, 최대 넓이 \(S\)를 가질 때, \(\frac{a^2}{S}\)의 값은? (단, \(k\)는 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)-좌표보다 크고 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)-좌표보다 작다.)

응용예제23

그림과 같이 세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 있다. 점 \(\mathrm P\)는 점 \(\mathrm{A}\)에서 출발하여 매초 1의 속력으로 선분 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이고, 점 \(\mathrm{Q}\)는 점 \(\mathrm{B}\)에서 출발하여 매초 2의 속력으로 선분 \(\mathrm{BC}\) 위를 움직이고, 점 \(\mathrm{R}\)은 점 \(\mathrm{C}\)를 출발하여 매초 3의 속력으로 선분 \(\mathrm{CA}\) 위를 움직인다고 한다. 세 점 \(\mathrm{P, Q, R}\)은 동시에 각 점 \(\mathrm{A, B, C}\)를 출발한다고 할 때, \(t=\frac{q}{p}\)초 후에 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이가 최소가 된다. 이때 \(p+q\)의 값은? (단, 점 \(\mathrm{R}\)이 점 \(\mathrm{A}\)에 도착하는 순간 세 점 모두 움직이지 않으며, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

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