평면의 방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/평면의_방정식

삼-차원 공간에서는 이-차원 평면에서와 달리, 무수히 많은 평면이 존재하기 때문에, 모든 각 평면을 식으로 구별해서 나타낼 필요가 있습니다.

직선에서, 기울기에 해당하는 것은 그의 나아가는 방향을 결정하는 방향벡터로 대체해서 정의를 했습니다.

그러나, 평면은 모든 방향으로 무한히 뻗어나가기 때문에, 나아가는 방향을 결정할 수는 없습니다. 반면에 평면에 수직인 방향은 평면의 위쪽이나 아래쪽으로 결정될 수 있습니다.

평면과 벡터가 수직인 것은 평면 위의 놓인 임의의 벡터와 그 벡터가 서로 수직인 사실로부터 평면의 방정식을 정의할 수 있습니다.

이때, 하나의 평면 위의 모든 점과 모든 직선을 포함하도록 정의가 되어야 하는데, 공간에서 임의의 점을 선택하고, 그 선택된 점이 아닌 다른 임의의 한 점을 선택함으로써 임의의 한 직선, 즉, 최초에 선택된 점을 지나는 모든 직선을 그려서, 하나의 평면을 그릴 수 있습니다.

공간에서 점 \(\mathrm{A}\)를 지나고, 영벡터가 아닌 벡터 \(\vec{n}\)에 수직인 평면 \(\alpha\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp \vec{n}\)이므로, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\vec{n} = 0\)

이때, 두 점\(\mathrm{A, P}\)의 위치 벡터를 각각 \(\vec{a}, \vec{p}\)라고 하면 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}-\vec{a}\)이므로 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\((\vec{p}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0\cdots(1)\)

여기서, 벡터 \(\vec{n}\)을 평면 \(\alpha\)의 법선 벡터라고 부릅니다. Normal (geometry)을 참조하십시오.

역으로, 식 (1)을 만족하는 \(\vec{p}\)를 위치벡터로 하는 점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{A}\)를 지나고, 벡터 \(\vec{n}\)에 수직인 평면 \(\alpha\) 위에 놓입니다.

이제, 평면의 벡터방정식을 벡터의 성분으로 나타낼 필요가 있는데, 스칼라 관계식이 대수적 조작이 쉽기 때문입니다.

공간에서, 한 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\)을 지나고, 벡터 \(\vec{n}=(a, b, c)\)에 수직인 평면을 \(\alpha\)라 할 때, \(\alpha\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y,z)\)라 하면, 식 (1)에 따라, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\((x-x_1, y-y_1, z-z_1)\cdot(a, b, c) = 0\)

점 곱의 정의에 따라,

\(\quad\)\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\cdots(2)\)

식 (2)를 평면의 방정식의 표준형이라고 합니다.

평면의 방정식의 일반형

식 (2)를 전개한 후, 정리해서, 상수항을 하나의 문자로 나타내면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(ax+by+cz+d=0\cdots(3)\)

식 (3)은 무수히 많은 점을 지나는 평면이고, 어쨌든, 그의 법선 벡터는 일차의 계수로부터 \(\vec{n}=(a,b,c)\)임을 알 수 있습니다.

이 식을 평면의 방정식의 일반형이라고 합니다.

절편을 지나는 평면

이-차원 평면에서, 각 축을 지나는 절편이 0이 아닐 때, 두 절편을 지나는 직선의 방정식에 대해 알아보았습니다. 

삼-차원 평면에서, 각 축을 지나는 절편이 0이 아닐 때, 세 절편, \(\mathrm{A}(a,0,0)\), \(\mathrm{B}(0,b,0)\), \(\mathrm{C}(0,0,c)\)을 지나는 평면의 방정식은 그의 성분을 확장한 형태가 됩니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

나중에 평면의 방정식의 일반형에 대입해서, 식이 유도되는 과정을 추가할 예정입니다.

두 평면의 교선의 방정식

두 평면 방정식을 연립해서 \(x=az+b\)로 나타냈으면, \(z=(x-b)/a\)를 평면의 방정식에 대입해서 \(x=cy+d\)를 얻어내면 간단히 구할 수 있습니다. 즉, 교선의 방정식은 \(x=cy+d=az+b\)로 나타낼 수 있습니다.

예를 들어, 두 평면 \(x-y+z-1=0\cdots(1)\), \(6x-y+3z+4=0\cdots(2)\)의 교선의 방정식을 구해 보겠습니다.

• 두 식을 변변 뺀 후, \(-5x-2z-5=0\cdots(3)\)
• 식 (3)을 \(x\)에 대해 정리하면, \(\displaystyle x=\frac{-2z-5}{5}\cdots(4)\)
• 식 (3)을 \(z\)로 정리하면, \(\displaystyle z=\frac{-5x-5}{2}\)
• 식 (1)에 대입하면, \(\displaystyle -y+\frac{-3x-7}{2}=0\cdots(5)\)
• 식 (5)를 \(x\)로 정리하면, \(\displaystyle x=\frac{-2y-7}{3}\cdots(6)\)
• 식 (4)와 (6)에 의해, \(\displaystyle x=\frac{-2y-7}{3}=\frac{-2z-5}{5}\)

식을 한 변수로 만들 때, 어떤 변수로 나타내는지에 따라, 지나는 점은 변할 수 있지만, 방향벡터는 변하지 않습니다.

두 평면이 이루는 각

직선의_방정식(평면벡터)#두 직선이 이루는 각의 크기를 참조하십시오.

단지 두 평면이 이루는 각은 직선에서의 방향벡터가 평면에서의 법선벡터로 바뀌고, 각 값을 구할 때, 성분이 하나 더 추가될 뿐입니다.

직선과 평면이 이루는 각은 방향벡터와 법선벡터 사이의 관계입니다.

두 평면의 평행과 수직

직선의_방정식(평면벡터)#두 직선의 평행과 수직을 참조하십시오.

단지 두 평면의 평행과 수직은 직선에서의 방향벡터가 평면에서의 법선벡터로 바뀌고, 각 값을 구할 때, 성분이 하나 더 추가될 뿐입니다.

평면과 점 사이의 거리

Main article: Distance from a point to a plane

평면 \(\alpha: ax+by+cz+d=0\) 위에 있지 않은 한 점 \(\mathrm P(x_1, y_1, z_1)\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm H(x_2, y_2, z_2)\)라고 할 때, 선분 \({\rm PH}\)의 길이가 점 \(\rm P\)와 평면 \(\alpha\)사이의 거리입니다.

이때, \(\overrightarrow{{\rm PH}}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)이고, 평면 \(\alpha\)의 법선벡터를 \(\vec{n}=(a, b, c)\)라고 하면 \(\overrightarrow{{\rm PH}}\parallel\vec{n}\)이므로 \(\vec{n}\cdot \overrightarrow{{\rm PH}}=\pm \left|\vec{n}\right|\left|\overrightarrow{{\rm PH}}\right|\)에서

\(\quad\)\(\left|\vec{n}\cdot \overrightarrow{{\rm PH}}\right|=\left|\vec{n}\right|\left|\overrightarrow{{\rm PH}}\right|\)

따라서

\(\quad\)\(\displaystyle \overline{{\rm PH}}=\left|\vec{{\rm PH}}\right|=\frac{\left|\vec{n}\cdot\vec{{\rm PH}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\)

입니다. 그런데 점\({\rm H}\)는 평면 \(\alpha\) 위의 점이므로

\(\quad\)\(ax_2+by_2+cz_2+d=0\)

입니다. 그러므로

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{n}\cdot\overrightarrow{{\rm PH}} & = a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) \\
& = ax_2+by_2+cz_2-(ax_1+by_1+cz_1) \\
& = -d-(ax_1+by_1+cz_1) \\
& = -(ax_1+by_1+cz_1+d) \\
\end{align}\)

를 얻을 수 있습니다. 이것을 대입하면

\(\quad\)\(\displaystyle \overline{{\rm PH}}=\frac{\left|ax_1+by_1+cz_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

몇 가지 문제

평면과 직선 사이의 사잇각

직선의 방향벡터 \(\vec{u}=(a,b,c)\)와 평면의 수직 벡터 \(\vec{n}=(a,b,c)\)를 이용하여 내적 관계식으로 \(\cos\theta\)를 구할 수 있습니다. 그러나 실제 사잇각은 구해진 값이 양수이면, \(90^{\circ}-\theta\)가 실제 사잇각이며, 음수이면, \(\theta-90^{\circ}\)가 사잇각이 됩니다. 변환관계에 의해서 \(\cos({90^{\circ}-\theta})=\cos(\theta-90^{\circ})=\sin\theta\)이기 때문에 내적 관계식을 세울 때 \(\cos\)대신에 \(\sin\)을 사용해서 사잇각을 바로 구할 수 있습니다.

평면을 거치는 최소거리

평면에서 직선의 한쪽 편에 같이 놓인 두 점 \(A, B\)에서 직선을 거쳐서 가는 최단 거리문제는 \(A\) 점을 직선에 대칭이동해서 생긴 \(A_1\)에서 \(B\)까지 거리가 최소거리가 됩니다. 이 경우에는 \(A, A_1\)의 중점이 직선 위에 놓이고 \(A, A_1\)의 기울기와 직선의 기울기의 곱이 \(-1\)이라는 식을 연립해서 점 \(A_1\)을 구할 수 있습니다. 이와 마찬가지로 평면의 한쪽에 놓인 두 점 \(A, B\)이 있을 경우에 한 점에서 평면을 거쳐 다른 점으로 가는 최단 거리를 구하는 문제가 있습니다. 이 경우에도 평면과 개념은 같습니다. 점과 대칭점인  \(A, A_1\)은 같은 직선에 놓이고 이 직선의 방정식은 평면의 수직벡터가 이 직선의 방향벡터가 되기 때문에 쉽게 구할 수 있습니다. 그리고 직선과 만나는 평면 위의 점 \(H\)은 앞에서 소개한 직선 위의 특정점을 나타내어서 평면 방정식에 대입해서 구할 수 있습니다. 또한 점 \(A\)에서 점 \(H\)로 증감의 변화는 점 \(H\)에서 점 \(A_1\)의 증감 변화와 동일하므로, 이를 이용해서 점 \(A_1\)을 구할 수 있습니다.