원순열

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/원순열

서로 다른 네 개를 줄 세우는 경우의 수는 4!입니다. 물론 이것은 곱의 법칙으로부터 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)4×3×2×1

한편, 이 네 개를 원형으로 배열할 때의 경우의 수는 몇 개일까요?

위의 곱의 법칙은 자릿수로 발생합니다. 첫 번째 자리에 올 수 있는 경우는 4개 중에 1개이므로 4가지가 됩니다. 반면에 원형으로 배열할 때에는 첫 번째로 원형의 아무 자리에 배열하는 것의 가짓수는 1가지입니다.

일렬로 배열할 때에는 자릿수 자체가 구별을 나타내기 때문에 서로 다른 4가지 중에 1가지를 선택하는 것과 같습니다. 즉, 제일 앞에 A가 있는 것과 B, 또는 C, 또는 D가 있는 것은 서로 구별이 됩니다. 반면에 원형으로 배열할 때에는 처음에 어느 것을 어느 위치에 놓더라도 구별이 되지 않으므로 1가지 경우입니다.

이 부분은 일상생활에서와 혼동해서는 안됩니다. 일상생활에서는 배경, 또는 동서남북이 있기 때문에 원형에서도 자리가 구별이 됩니다. 그러나, 수학에서 원형은 배경, 또는 동서남북이 없기 때문에, 처음에 어느 자리에 앉더라도 구별할 수가 없습니다.

두 번째부터는 첫 번째의 놓인 것에 의해 모든 자리가 구별이 되기 때문에, 일반적인 순열과 같은 가짓수를 가집니다.

따라서, 경우의 수는 다음과 같습니다. 당연하게도, 수학 문제에서 동서남북을 표시한다면, 원순열은 (일반) 순열로 해석할 수 있습니다.

\(\quad\)\(1 \times 3 \times 2 \times 1\)

이것을 일반화해서, 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는

\(\quad\)\(1 \times (n-1)!\)

원순열을 이해하는 다른 방법은 같은 것이 있는 순열에서처럼 일반 순열에서 중복되는 개수로 나누는 것입니다. 즉, 다음과 같이 배열된 원순열은 서로 같습니다.

서로 다른 4명이 원탁에 둘러 앉을 때, 서로 같은 것으로 취급되는 경우의 도시

이것이 일렬로 배열될 때에는, 만약 화면에 보이는 위쪽으로부터 반시계방향으로 4개를 쓰면,

• ABCD
• DABC
• CDAB
• BCDA

와 같이 쓸 수 있지만, 원순열에서는 A를 기준으로, 맞은편에 C가 있고, 반시계방향쪽에 B, 시계방향쪽에 D가 있는 모두 같은 경우입니다. 즉, 4개의 쌍이 원순열에서는 1개로 만들어지기 때문에, 일렬로 세우는 순열을 4로 나눈 것과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{P(4,4)}{4} = \frac{4!}{4}=3!\)

이것을 일반화해서, 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{P(n,n)}{n} = \frac{n!}{n} = (n-1)!\)

곱의 법칙의 원순열 이해

원순열을 이해하는 방법은 크게 위의 2가지가 있으며, 좀 더 어려운 문제를 해결할 때에는 위쪽의 곱의 법칙을 바로 적용하는 것이 좀 더 쉽게 이해되는 경우가 많습니다. 예를 들어, 부모와 서로 다른 자녀 4명이 원탁에 둘러앉을 때, 부모가 마주 보고 않는 경우의 수는? 이때에는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

\(\quad\)\(1 \times 1 \times 4! \)

제일 앞의 1은 부가 앉는 경우의 수이고, 두 번째 1은 모가 앉는 경우로써 무조건 부의 맞은편에 앉아야 하기 때문이며, 4!은 자녀 4명이 앉는 경우의 수입니다.

만약 자녀를 먼저 앉히게 되면, 다음과 같이 셀 수 있습니다.

\(\quad\)\((4-1)! \times 4 \times 1\)

자녀 4명이 원순열로 앉고, 그 사이에 4곳 중에 1곳에 아버지가 앉고, 맞은 편 1곳에 어머니가 앉는 경우의 수입니다.

같은 것이 있는 것으로 해석한 원순열

한편, 같은 쌍의 개수로 나누는 것은 원형으로 앉지만, 완전한 원형이 아닌 식탁에 앉는 경우에 많이 이용됩니다. 예를 들어 정n각형의 식탁에 가장자리마다 1명씩 앉을 때에는 원순열과 동일합니다. 그렇지만 정n각형의 가장자리에 2명씩 앉을 때에는 일반 원순열이 아닙니다. 이를 해석하는 방법은 다음의 2가지가 있습니다.

1. \(\displaystyle \frac{\displaystyle P(n,n)}{(\mathrm{같은\; 경우})}\)
2. \(\displaystyle \frac{P(n,n)}{n} \times (\mathrm{다른\; 경우})\)

위의 경우는 일반 원순열을 유도했던 것처럼, 같은 경우가 생기는 개수를 구해서 나누는 방법입니다. 두 번째 방법은 원순열로 해석한 후에 다른 경우를 곱해주는 방법입니다. 보통은 두 번째 방법이 조금 더 편한 경우가 많습니다.

예를 들어, 정삼각형으로 이루어진 식탁에 각 변에 2명씩 서로 다른 6명이 앉는 경우의 수는?

정삼각형 모양의 테이블의 각 변에 2명이 둘러 앉을 때, 원순열의 변형으로 해석하는 경우

위의 그림에서 세 번째 경우는 첫 번째 경우와 동일합니다. 다른 것은 첫 번째, 두 번째만이 다릅니다. 그리지는 않았지만, 네 번째는 두 번째와 같은 경우입니다. 다섯 번째는 첫 번째, 여섯 번째는 두 번째와 다시 같아집니다. 경우의 수는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(5! \times 2\)

즉, 원순열로 해석한 후에 다른 경우 2가지를 곱해서 경우의 수를 구했습니다. 여기서 첫 번째와 세 번째 그림이 같은 경우인 이유는 짝이 b이면서 a의 시계방향 쪽에 f가 온다는 점입니다.

다음으로 직사각형의 짧은 변에 1명 긴 변에 2명이 앉아서 전체 서로 다른 6명이 앉는 경우의 수는? 그림처럼 다른 경우는 세 가지가 있습니다.

직사각형 모양의 테이블의 변에 서로 다른 사람이 둘러 앉을 때, 원순열의 변형으로 해석하는 경우

그러므로 전체 경우의 수는 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(5! \times 3\)

이웃하거나 이웃하지 않거나

서로 다른 남학생 4명과 서로 다른 여학생 4명이 원탁에 앉을 때, 여학생끼리 이웃하는 경우의 수는?

\(\quad\)\((5-1)! \times 4!\)

앞의 (5–1)!은 여학생들을 한 묶음으로 해서 남학생 4명과 5개를 원탁에 앉히는 경우의 수이며, 이웃한 여학생 사이에서 자리를 바꾸는 것은 남학생이 앉아있기 때문에, 일반 순열과 같아집니다.

서로 다른 남학생 4명과 서로 다른 여학생 4명이 원탁에 앉을 때, 여학생끼리 이웃하지 않는 경우의 수는?

\(\quad\)\((4-1)! \times P(4,4)\)

앞의 (4–1)!은 남학생 4명이 원탁에 앉는 경우의 수이고, 뒤의 P(4,4)는 앉아 있는 남학생 사이의 자리가 4곳이 생기고 그곳에 4명의 여학생을 앉히는 경우의 수입니다. 일반 순열과 다르게 맨 앞과 맨 뒤가 없기 때문에 앉을 수 있는 자리가 늘어나지는 않습니다.

정\(n\)면체에 색칠하기

정육면체에 서로 다른 6개의 색깔을 한 번씩 칠해서 다르게 보이는 정육면체는 몇 개를 만들 수 있을까요?

이 경우에는 곱의 법칙으로 원순열을 해석하는 것이 이해하기 쉽습니다.

• 첫 번째 어떤 색깔을 칠하는 것은, 어디에 어떤 색을 칠하더라도 구별이 되지 않기 때문에, 1가지입니다. 예를 들어 검은색.
• 다음은 맞은편에 색칠하는 것이 세기에 가장 편합니다. 검정색 맞은 편에 무슨 색은 전부 구별이 되기 때문에, 5가지입니다. 예를 들어 검점색 맞은 편에 흰색과 검정색 맞은 편에 노란색은 구별이 됩니다.
• 중간에 남아 있는 4면은 원순열로 해석할 수 있습니다. (4–1)!

경우의 수는 \(1 \times 5 \times (4–1)!\)입니다.

이 예제를 다르게 세는 방법도 있습니다. 정육면체는 항상 서로 마주 보는 면이 있습니다. 그렇기 때문에 마주보는 두 쌍이 3개 있는 경우로 색칠할 수도 있습니다.

• 먼저 서로 다른 6개를 3개의 쌍으로 나누는 과정으로 집합의 분할을 참조하십시오: \(\displaystyle C(6,2) \times C(4,2) \times C(2,2) \times \frac{1}{3!}\).
• 첫 번째 아무 쌍을 마주 보는 2곳에 색칠하는 방법의 수는 1가지입니다.
• 남아 있는 쌍 중에 하나를 마주보는 2곳에 색칠하는 방법의 수도 1가지입니다. 위의 곱의 법칙에서도 중간에 4면은 원순열로 해석합니다.
• 남아 있는 쌍은 원순열의 2번째 원소에 해당하기 때문에 2가지입니다.

따라서 경우의 수는 \(\displaystyle C(6,2) \times C(4,2) \times C(2,2) \times \frac{1}{3!} \times 1 \times 1 \times 2\)입니다.

정사면체에 서로 다른 4개의 색깔을 한 번씩 칠해서 다르게 보이는 정사면체는 몇 개를 만들 수 있을까요?

• 첫 번째 어떤 색깔을 칠하는 것은 1가지입니다. 예를 들어 검은색.
• (바닥에 검은색을 두고 세웠다고 생각해 보면), 나머지 3면은 원순열입니다. (3–1)!

따라서 경우의 수는 \(1 \times (3–1)!\)입니다.

응용예제

응용예제1

선생님 1명, 남학생 2명, 여학생 2명이 일정한 간격으로 놓여 있는 원모양의 탁자에 둘러앉을 때, 여학생도 이웃하지 않고, 남학생도 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는?