복잡한 식의 인수분해

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/복잡한_식의_인수분해

자연 현상 또는 현실 세계의 문제를 모델링했을 때, 하나의 변수를 가지는 경우는 매우 드뭅니다. 대체적으로 여러 개의 변수를 갖기 때문에, 주어진 식이 비록 다항식의 형태를 가지고 있더라도 변수는 여러 개 발생할 수 있습니다.

따라서, 여러 개의 변수가 있어서 복잡해 보이는 경우에 대해, 인수분해를 할 필요가 있습니다.

물론 고등학교 과정에서는 컴퓨터의 도움을 받지 못하기 때문에, 연필과-종이를 이용해서 처리할 수 있는 가장 간단한 형태를 다룹니다.

공통인수가 있는 경우

공통부분이 있는 식은 공통부분을 다른 문자(주로 \(t\))로 치환한 후에 대체로 더 간단한 식을 조작할 수 있습니다. 비록 더 간단하지 않더라도, 기존에 알려진 형태를 만들 수 있으면, 언제든지 대체를 통해 인수분해를 시도할 수 있습니다.

이때, 원래 식의 상수를 제외한 모든 문자가 \(t\)로 대체되어야 합니다. 그렇지 않으면, 원래 식이 \(x\)에 대한 다항식이었다면, \(x,t\)의 다항식이 되기 때문에 인수분해하기가 더 어려워집니다.

복이차식

복이차식은 차수가 짝수인 항으로 이루어진 다항식을 이르는 말입니다.

이때에는 크게 두 가지 상황이 발생합니다.

• \(x^2=t\)로 대체해서, 인수분해가 바로 되는 경우가 있습니다.
• 그렇지 않으면, 완전제곱식의 차이로 만들어서 인수분해를 시도합니다.

예를 들어, 다음 방정식은 \(x^2=t\)로 대체했을 때, 인수분해가 되는 경우입니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
x^4+3x^2+2 & = t^2+3t+2 \\
& = (t+1)(t+2) \\
& = (x^2+1)(x^2+2) \\
\end{align}\) 

반면에 \(x^4-8x^2+4\)는 대체했을 때, 인수분해가 되지 않습니다.

이때에는 완전제곱식의 차로 인수분해를 시도하는데, 상황에 따라, 한 가지 이상으로 인수분해가 될 수 있습니다.

첫 번째,

\(\quad\)\(\begin{align}
x^4+3x^2+2 & = x^4-4x^2+4-4x^2 \\
& = \left(x^2-2\right)^2-(2x)^2 \\
& = (x^2-2+2x)(x^2-2-2x) \\
& = (x^2+2x-2)(x^2-2x-2) \\
\end{align}\)

두 번째,

\(\quad\)\(\begin{align}
x^4+3x^2+2 & = x^4+4x^2+4-12x^2 \\
& = \left(x^2+2\right)^2-(\sqrt{12}x)^2 \\
& = (x^2+2+\sqrt{12}x)(x^2+2-\sqrt{12}x) \\
& = (x^2+\sqrt{12}x+2)(x^2-\sqrt{12}x+2) \\
\end{align}\)

어쨌든, 앞에서 언급한 것처럼, 계수가 유리수를 갖는 인수분해를 원할 때에는 첫 번째로 인수분해를 해야 합니다. 그러나, 그런 제약 조건이 없으면, 두 번째도 인수분해된 것입니다. 그 외에도 복소수를 배우면 더 가능한 인수분해도 존재할 수 있습니다.

문자가 여러 개인 경우

이 경우에는 차수가 낮은 문자의 내림차순으로 정리를 해서 인수분해를 시도합니다. 먼저 문자가 하나 감소한 상수항부터 여러가지 기법을 이용해서 인수분해를 합니다. 이후에 나머지 항들을 인수분해합니다.

예를 들어, \(x^2+xy+x-y-2\)를 인수분해 할 때에는, 낮은 차수 \(y\)에 대해서 정리를 합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
x^2+xy+x-y-2 & = (x-1)y+x^2+x-2 \\
& = (x-1)y+(x-1)(x+2) \\
& = (x-1)(y+x+2) \\
& = (x-1)(x+y+2) \\
\end{align}\)

한편, 높은 차수로 정리해서 인수분해가 되지 않는 것은 아닙니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
x^2+xy+x-y-2 & = x^2+(y+1)x-(y+2) \\
& = (x-1)(x+(y+2)) \\
\end{align}\)

그러나, 대체로 아래 과정은 암산으로 계수를 맞추는 과정이 위의 과정보다 더 복잡합니다.

위의 과정은 \(y\)에 대한 방정식의 상수항에 해당하는 \(x\)의 이차 방정식, \(x^2+x-2\)을 다루는데, 그의 계수는 전부 숫자입니다. 반면에 아래는 \(x\)에 대한 방정식 자체가 이차이고, 그의 계수가 문자 \(y\)를 포함하고 있기 때문에, 상대적으로 더 어렵게 느껴질 수 있습니다.

따라서, 낮은 차수로 정리함으로써, 높은 차수에 해당하는 부분이, 낮은 차수의 상수항으로 모이기 때문에, 훨씬 인수분해하기가 쉬울 수 있습니다.

기본예제

기본예제1

다음을 인수분해하여라.

(1) \(\left(x^2-3x\right)^2+2x^2-6x+1\)

해설) 식을 묶으면 치환할 부분이 보입니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
& \left(x^2-3x\right)^2+2x^2-6x+1 \\
& = \left(x^2-3x\right)^2+2(x^2-3x)+1 \\
& = t^2+2t+1 \\
& = (t+1)^2 \\
& = \left(x^2-3x+1\right)^2 \\
\end{align}\)

(2) \(x^4-7x^2-18\)

해설) \(x^2=t\)라 놓으면,

\(\quad\)\(\begin{align}
& x^4-7x^2-18 \\
& = t^2-7t-18 \\
& = (t+2)(t-9) \\
& = (x^2+2)(x^2-9) \\
& = (x^2+2)(x+3)(x-3) \\
\end{align}\)

(3) \(a^2+ab-ac-bc\)

해설) \(b\)에 대해서 내림차순으로 정리하면,

\(\quad\)\(\begin{align}
& a^2+ab-ac-bc \\
& = (a-c)b+a(a-c) \\
& = (a-c)(b+a) \\
\end{align}\)

기본예제2

다음 식을 인수분해하여라.

(1) \((x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-10\)

해설) 주어진 식을 완전히 풀어서 4차 방정식을 만든 후에 인수정리를 사용해서 인수분해할 수도 있습니다. 여기서는 적당히 풀어서 치환하는 방법을 이용해보려 합니다. 치환을 할 때에는 \(x\)의 문자가 완전히 사라지도록 이차식 2개로 만들어야 합니다. 이때에 일차항의 계수가 같아야 하므로, 전개하는 두 식의 상수합의 합이 같은 것을 골라야 합니다. 즉, \(2+4=1+5\)로 아래와 같이 전개를 합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
& (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-10 \\
& = \left\{(x+2)(x+4)\right\}\left\{(x+1)(x+5)\right\}-10 \\
& = \left(x^2+6x+8\right)\left(x^2+6x+5\right)-10 \\
& = (t+8)(t+5)-10 \\
& = t^2+13t+30 \\
& = (t+3)(t+10) \\
& = (x^2+6x+3)(x^2+6x+10) \\
\end{align}\)

(2) \(x^4+x^2y^2+y^4\)

해설) 복이차식입니다. 완전제곱식의 차로 변환을 시도해 봅니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
& x^4+x^2y^2+y^4 \\
& = x^4+2x^2y^2+y^4-(xy)^2 \\
& = \left(x^2+y^2\right)^2-(xy)^2 \\
& =\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x^2+y^2-xy\right) \\
\end{align}\)

(3) \(ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\)

해설) 전개한 후면 \(a,b,c\)에 대해서 모두 이차이므로 \(a\)에 대해서 내림차순으로 정리합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
& ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) \\
& = a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2 \\
& = (b-c)a^2-(b^2-c^2)a+bc(b-c) \\
& = (b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) \\
& = (b-c)\left(a^2-(b+c)a+bc\right) \\
& = (b-c)(a-b)(a-c) \\
& = -(a-b)(b-c)(c-a) \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

\(x^4+2x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\)일 때, 상수 \(a,b,c,d\)에 대하여, \(ad-bc\)의 값은? (단, \(c<0\))

응용예제2

자연수 \(\sqrt{2019\times 2020 \times 2021 \times 2022 + 1}\)을 5로 나눈 나머지를 구하여라.