삼차방정식

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Main article: Cubic equation

삼차 방정식이란, 최고차항의 차수가 3인 다항 방정식을 말합니다. \(x\)에 관한 삼차 방정식의 일반적인 모양은

\(\quad\)\( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 , \quad a \ne 0\)

와 같습니다. 여기서 계수 \(a,b,c,d\)는 실수만을 다루게 됩니다.

일반해가 존재하지만 고등학교 교과과정에서는 사용하지 않고, 인수분해 공식을 이용하거나 인수정리를 통해서 인수분해를 해서 해를 구합니다.

근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계를 확장해서 삼차방정식으로 적용이 가능합니다.

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 두 근을 각각 \(\alpha, \beta, \gamma\)라고 하면, 

\(\alpha, \beta, \gamma\)을 근으로 갖는 삼차방정식을 \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\)으로 만들 수 있습니다.

원래 삼차방정식 양변에 \(\frac{1}{a}\)를 곱하더라도 근은 변하지 않습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0 \iff (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\)

수식을 전개해서 정리하면, 계수가 같아야 하므로 다음의 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{b}{a}=-(\alpha+\beta+\gamma)\), \(\displaystyle \frac{c}{a}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\), \(\displaystyle \frac{d}{a}=-\alpha\beta\gamma\)

그러므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&\alpha + \beta +\gamma=-\frac {b}{a}\\
&\alpha \beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac {c}{a}\\
&\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\\
\end{align}\)

특이한 삼차방정식

\(x^3=1\)

삼차방정식의 일반해를 구할 때 중요한 역할을 했던 식입니다. 다음과 같이 인수분해를 합니다.

\(\quad\)\((x-1)(x^2+x+1)=0\)

삼차방정식의 해는 \(x=1\) 또는 \(\displaystyle x={-1 \pm  \sqrt{3}i \over 2}\)입니다. 여기서 1개의 허근을 \(\omega\)라고 하면, 다음의 식을 만족합니다. 

\(\quad\)\(x^2+x+1=0\; \{\omega, \overline{\omega}\}\)

먼저, 근의 성질은 값을 대입하면 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(\omega^3=1,\; \overline{\omega}^3=1\)

\(\quad\)\(\omega^2+\omega+1=0,\; \overline{\omega}^2+\overline{\omega}+1=0\)

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\omega+\overline{\omega}=-1,\; \omega\cdot\overline{\omega}=1\)

위의 식을 변형하면, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\omega+1=-\omega^2,\; \overline{\omega}+1=-\overline{\omega}^2\)

\(\quad\)\(\omega+1=-\overline{\omega},\; \overline{\omega}+1=-\omega\)

그러므로 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\omega^2=\overline{\omega},\; \overline{\omega}^2=\omega\)

또한, \(k=0,1,2,\cdots\)에 대해서 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\omega^{3k+1}=\omega,\; \omega^{3k+2}=\omega^2,\; \omega^{3k+3}=1\)

\(x^3=-1\)

다음과 같이 인수분해를 합니다.

\(\quad\)\((x+1)(x^2-x+1)=0\)

삼차방정식의 해는 \(x=-1\) 또는 \(\displaystyle x={1 \pm  \sqrt{3}i \over 2}\)입니다. 여기서 1개의 허근을 \(\alpha\)라고 하면, 다음의 식을 만족합니다. 

\(\quad\)\(x^2-x+1=0\; \{\alpha, \overline{\alpha}\}\)

먼저, 근의 성질은 값을 대입하면 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(\alpha^3=-1,\; \overline{\alpha}^3=-1\)

\(\quad\)\(\alpha^2-\alpha+1=0,\; \overline{\alpha}^2-\overline{\alpha}+1=0\)

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\alpha+\overline{\alpha}=1,\; \alpha\cdot\overline{\alpha}=1\)

위의 식을 변형하면, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\alpha-1=\alpha^2,\; \overline{\alpha}-1=\overline{\alpha}^2\)

\(\quad\)\(\alpha-1=-\overline{\alpha},\; \overline{\alpha}-1=-\alpha\)

그러므로 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\alpha^2=-\overline{\alpha},\; \overline{\alpha}^2=-\alpha\)

또한, \(k=0,1,2,\cdots\)에 대해서 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\alpha^{6k+1}=\alpha,\; \alpha^{6k+2}=\alpha^2,\; \alpha^{6k+3}=-1\)

\(\quad\)\(\alpha^{6k+4}=-\alpha,\; \alpha^{6k+5}=-\alpha^2,\; \alpha^{6k+6}=1\)

응용예제

응용예제1

삼차방정식 \(x^3-6x^2+(\sqrt{2}+8)x-2\sqrt{2}=0\)의 세 실근을 \(\alpha,\; \beta,\; \gamma\;(\alpha < \beta < \gamma)\)라 할 때, \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 + 2\alpha \gamma\)의 값을 구하시요.

응용예제2

삼차다항식 \(f(x)\)에 대하여, \(f(x)+2\)는 \(x^2+x+1\)로 나누어떨어지고, \(f(x)-2\)는 \(x^2-x+1\)로 나누어떨어질 때, \(f(x)\)를 구하시오.

응용예제3

방정식 \(x^3=1\)의 한 허근을 \(\omega\)라 하고, 자연수 \(n\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle z_n=\frac{1+\omega^n}{1+\omega^{2n}}\)

이라 할 때, 다음에서 옳은 것을 모두 고르시오.

\(\quad\)(가) \(z_1 \overline{z_1}=1\) (단, \(\overline{z_1}\)는 \(z_1\)의 켤레복소수입니다.)

\(\quad\)(나) \(z_1^2=z_2\)

\(\quad\)(다) \(z_1+z_2+z_3+\cdots+z_{17}=-1\)

응용예제4

사차방정식 \(x^4+x^3-x-1=0\)의 한 허근을 \(\omega\)라 할 때, \(\left(1+\omega^5\right)\left(1+\overline\omega^4\right)\)의 값은?

응용예제5

삼차방정식 \(x^3+1=0\)의 한 허근을 \(\alpha\)라고 할 때, 다음 중 옳은 것을 전부 고르시오.

\(\quad\)(ㄱ) \(\alpha\overline\alpha+\alpha+\overline\alpha+1=0\)

\(\quad\)(ㄴ) \((\alpha-1)^3+(\overline\alpha-1)^3=2\)

\(\quad\)(ㄷ) \(\displaystyle \frac{1-\alpha}{1-\overline\alpha}+\alpha=0\)

\(\quad\)(ㄹ) \(\displaystyle \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\alpha^3}+\frac{1}{1-\alpha^5}+\cdots+\frac{1}{1-\alpha^{101}}=51\)

응용예제6

\(x\)에 관한 삼차방정식 \(x^3+ax^2+bx+1=0\)이 하나의 실근과 서로 다른 두 허근 \(\alpha, \alpha^2\)을 가질 때, 실수 \(a, b\)의 값을 구하여라.

응용예제7

\(x^3\)의 계수가 1이고, 계수가 모두 실수인 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 세 근이 복소수 \(z\)에 대하여 \(z+3i\), \(z+9i\), \(2z-4\)일 때, \(f(x)\)를 구하여라.

응용예제8

삼차방정식 \(x^3+(5-a)x^2+(a^2-5a)x-a^3=0\)이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 정수 \(a\)의 개수는?

응용예제9

양의 실수 \(a,b,c\)에 대하여 \(a^3+b^3+c^3=3abc\)이다. 방정식 \(ax^2-bx+c=0\)을 만족시키는 \(x\)에 대하여 \(x^{2020}+x^{152}+28\)의 값을 구하시오.

응용예제10

\(x\)에 관한 삼차방정식 \(x^3+2kx^2+(k^2+2k-1)x+k^2=0\)이 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) 허근 \(z\)를 갖는다.

\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle z+\frac{1}{z}\)은 실수이다.

이때, \(\displaystyle z+\frac{1}{z}\)의 값은? (단, \(k\)는 실수이다.)

응용예제11

\(x\)에 관한 삼차식 \(f(x)=x^3+mx^2+nx+64\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(f(x)=(x-p)(x-2q)(x-3r)\)

\(\quad\)(ㄴ) \(m^2=3n\)

이때, 실수 \(m,n,p,q,r\)의 값을 각각 구하시오.

응용예제12

방정식 \(x^3=-8\)의 한 허근을 \(\omega\)라 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(\overline\omega\)는 \(\omega\)의 켤레복소수이다.)

\(\quad\)(1) \(\omega+\overline\omega\), \(\omega\overline\omega\)의 값을 각각 구하시오.

\(\quad\)(2) \(\omega^2=p\overline\omega\), \(\omega^2=\frac{q}{\omega}\)일 때, 실수 \(p,q\)의 값을 각각 구하시오.

\(\quad\)(3) 다음을 만족하는 유리수 \(a,b\)의 값을 각각 구하시오. \(\displaystyle \frac{\omega}{2}+\frac{2\omega^2}{2^2}+\frac{3\omega^3}{2^3}+\frac{4\omega^4}{2^4}+\cdots+\frac{50\omega^{50}}{2^{50}}=a+b\omega\)

응용예제13

\(x^3-2(a+2)x^2+(a^2+4a+3)x-2a^2+2=0\)이 한 근 \(z=p+qi\;\;(q \ne 0)\)를 갖고, \(\displaystyle z+\frac{1}{z}\)은 실수가 된다. 이때, \(\displaystyle z^2+\frac{1}{z^2}\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\;p,\;q\)는 실수, \(i=\sqrt{-1}\)이다.)