합성함수의 미분법

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Main article: Chain rule

두 함수, \(y=f(x),\;y=g(x)\)를 합성한 함수 \(y=(f\circ g)(x)=f(g(x))\)는 원래 두 함수보다 더 복잡합니다. 

예를 들어, 두 함수

\(\quad\)\(f(x)=x^5,\;g(x)=x^3-2x\)

에 대해, 

\(\quad\)\(y=(f\circ g)(x)=(x^3-2x)^5\)

의 도함수는, 비록 전개하는 과정이 시간이 걸릴지라도, 결과가 다항함수이므로, 구할 수는 있습니다.  

반면에, 두 함수

\(\quad\)\(f(x)=\ln x,\;g(x)=2x+5\)

에 대해, 

\(\quad\)\(y=(f\circ g)(x)=\ln (2x+5)\)

의 도함수는, 각각의 함수의 도함수는 구할 수 있을지라도, 마땅히 구할 방법이 없습니다. 

이와 같이, 미분가능한 두 함수에 대해, 그의 합성함수의 도함수를 구하는 방법을 체인 규칙(chain rule)이라고 합니다.

합성함수의 미분은 복잡해 보이는 함수를 기본 함수의 모양의 연속된 미분으로 만들어 주기 때문에, 도함수의 정의에 의한 복잡한 과정을 통해 도함수를 얻지 않고, 테이블에서 결과를 읽어서 연속적으로 적는 효과를 줍니다.

합성함수의 미분법

체인 규칙은 라이프니츠의 표기법으로 다음과 같은 방식으로 쓰일 수 있습니다. 만약 변수 \(y\)가 변수 \(t\)에 의존하고, 변수 \(t\)는 변수 \(x\)에 의존하면, 따라서 \(y\)와 \(t\)는 종속 변수이므로, 변수 \(y\)는, \(t\)의 중간 변수를 통해, 마찬가지로 \(x\)에 종속됩니다. 체인 규칙은 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}. \)

체인 규칙의 두 버전은 관련됩니다; 만약 \(y=f(t)\) 및 \(t=g(x)\)이면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} = f'(t)g'(x) = f'(g(x))g'(x)\).
적분화(integration)에서, 체인 규칙에 대응하는 것이 치환 규칙(substitution rule)입니다.

이제 위의 예제

\(\quad\)\(y=(f\circ g)(x)=(x^3-2x)^5\)

에서 \(t=x^3-2x\)로 두면, \(y=t^5\)이므로

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=5t^4,\;\frac{dt}{dx}=3x^2-2\)

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
y' & = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \\
& = 5t^4 (3x^2-2) \\
& = 5\left(x^3-2x\right)^4 (3x^2-2) \\
\end{align}\)

합성함수에 체인 규칙을 적용할 때, 변수를 치환하는 것이 귀찮을 수 있습니다. 그래서, 결과 수식 자체로부터 바로 미분을 적용하기도 합니다.

예를 들어, 위의 예제, \(y=(f\circ g)(x)=\ln (2x+5)\)에서

\(\quad\)\(2x+5=X\)로 (머릿속에서) 치환한 후에,

\(\quad\)\(y=\ln X\), 즉, 기본 함수 꼴을 미분하고,

\(\quad\)결과에서 역 치환을 한 후에,

\(\quad\)\(X=2x+5\)에 대한 미분의 결과를 뒤에 곱해줍니다
\(\quad\)\(\displaystyle \therefore y'=\frac{1}{2x+5} \cdot 2\)
물론 결과를 적을 때, 계수를 앞에 적는 것, 약분을 하는 것, 등의 보기 좋게 적는 과정이 있지만, 미분과는 상관이 없는 대수적 과정이고, 아마도 좀 더 빠르게 최종 결과를 적기 위함일 것입니다.

미적분1의 다항함수의 미분법에서 소개했던, \(y=\left\{f(x)\right\}^n\)의 도함수는, 체인 규칙에 의해,

\(\quad\)\(\displaystyle y'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}\cdot f'(x)\)

임을 이해할 수 있습니다.

체인 규칙을 적용한 여러 가지 응용

만약, 이 기사를 처음 읽는 분들은, 체인 규칙을 적용할 때, 기본 함수의 도함수를 암기하고 있어야 하고, 대수적 조작을 하지 않고, 연습하는 것을 추천합니다. 결과의 대수적 조작은 충분한 연습 후에, 자연스럽게 이루어지는 것이 좋습니다.
또한, 각 함수가 정의되는 전제 조건은 생략되어 있습니다. 예를 들어, 지수함수의 밑은 1이 아닌 양수입니다.

이제 기본 함수가 아닌 것들을 체인 규칙에 의해 쉽게 미분이 가능합니다.

예를 들어, 지수함수 \(y=e^{x^2}\)의 도함수는

\(\quad\)\(y'=e^{x^2}\cdot 2x\)

보다 일반적으로, 지수함수 \(y=e^{f(x)}\)의 도함수는

\(\quad\)\(y'=e^{f(x)}\cdot f'(x)\)

밑수가 더 일반적인 \(y=a^{f(x)}\)의 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle y'=\left(a^{f(x)} \ln a\right) \cdot f'(x)\)

다른 예제로, 로그함수 \(y=\ln |f(x)|\)의 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle y'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)\)

밑이 더 일반적인 \(y=\log_{a} |f(x)|\)의 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle y'=\frac{1}{f(x) \ln a}\cdot f'(x)\)

응용예제

응용예제1

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x)=f\left(\sin^2 \pi x\right)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(ㄱ) \(0<x<1\)에서 함수 \(g(x)\)가 극대가 되는 \(x\)의 개수가 3이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다. 
\(\quad\)(ㄴ) 함수 \(g(x)\)의 최댓값은 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)이고, 최솟값은 0이다.

\(f(2)=a+b\sqrt{2}\)일 때, \(a^2+b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 유리수이다.) [4점] [2021학년도 수능 가형 30번]

응용예제2

최고차항의 계수가 \(6\pi\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{2+\sin\left(f(x)\right)}\)이 \(x=\alpha\)에서 극대 또는 극소이고, \(\alpha \ge 0\)인 모든 \(\alpha\)를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\;\alpha_4,\;\alpha_5,\;\cdots\)라 할 때, \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(a_0\)이고 \(\displaystyle g(\alpha_1)=\frac{2}{5}\)이다.
\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)}+\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle g'\left(-\frac{1}{2}\right)=a\pi\)라 할 때, \(a^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle 0<f(0)<\frac{\pi}{2}\)) [4점] [2019학년도 수능 가형 30번]

응용예제3

양수 \(t\)에 대하여 구간 \([1,\infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가

\(\quad\)\(f(x)=\left\{
\begin{align}
& \ln x & & (1 \le x < e) \\
& -t + \ln x & & ( x \ge e) 
\end{align}\right.\)

일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 \(g(x)\) 중에서 직선 \(y=g(x)\)의 기울기의 최솟값을 \(h(t)\)라 하자.

\(\quad\)1 이상의 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x-e)\left\{g(x)-f(x)\right\} \ge 0\)이다.

미분가능한 함수 \(h(t)\)에 대하여 양수 \(a\)가 \(\displaystyle h(a)=\frac{1}{e+2}\)을 만족시킨다. \(\displaystyle h'\left(\frac{1}{2e}\right)\times h'(a)\)의 값은? [4점] [2018학년도 수능 가형 21번]