쌍곡선의 점근선

유리함수는 두 개의 곡선으로 이루어져 있고, 쌍곡선의 일종입니다.

유리함수의 그래프는 \(x\)-축에 점점 다가가거나, 또는 \(y\)-축으로 점점 다가가는 경향이 있는데, 이 두 직선을 점근선이라고 합니다.

원뿔곡선 중에 쌍곡선도 마찬가지로 점근선을 가집니다.

먼저, 두 초점에 \(x\)-축 위에 있는 쌍곡선

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
을 \(y\)에 대하여 풀면,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
y & =\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2} \\
& = \pm \frac{b}{a}x \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} \\
\end{align}\)

여기서, \(x\)의 절댓값이 커짐에 따라, 그의 극한

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)= 1\)

따라서, 두 초점이 \(x\)-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선은

\(\quad\)\(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}x\)

마찬가지로 위의 과정을 거쳐, 두 초점이 \(y\)-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선도 위와 같음을 알 수 있습니다.

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