거듭제곱과 거듭제곱근

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See also: Exponentiation and Multiplication

수학에서는 규치적인 것을 간단하게 나타내는 것은 흔한 일입니다. 예를 들어, 다음과 같은 것이 있습니다.

• 규칙성을 갖는 수열의 일반항 표현, 점화식 표현
• 집합의 조건제시법
• 값은 값이 여러 번 더해지는 것을 나타내는 곱셈

같은 값이 여러번 더해지는 것을 나타내는 곱셈은, 예를 들어, 실수 \(a\)에 대해 \(a\)가 \(n\)번 더해지는 것을 \(a\times n\)으로 나타냅니다.

비슷하게, 같은 값이 여러 번 곱해지는 것을 나타내는 것이 거듭제곱입니다. 예를 들어,

• 실수 \(a\)에 대해 \(a\)가 \(n\)번 거듭하여 곱한 것을 \(a^n\)으로 나타내고 '\(a\)의 \(n\) (거듭)제곱', 또는 '\(a\)의 \(n\)번째 (거듭)제곱'이라고 읽습니다.
• \(a^n\)에서 \(a\)를 거듭제곱의 밑(수), \(n\)을 거듭제곱의 지수라고 부릅니다.

이와 같은 거듭제곱은 지수법칙을 만족합니다.

거듭제곱근

거듭제곱은, 같은 것이 여러번 곱해지는 형태이므로, 가장 작은 지수 1을 가집니다. 반면에 어떤 값, \(x\)를 여러 번, 즉, \(n\)번 곱해서 \(a\)를 만드는 경우를 생각해 보십시오.

물론 이것은 위에서 정의된 거듭제곱으로부터 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(x^n = a\)

여기서 \(a\)는 실수이고, \(n\)은 회수를 나타내므로 자연수입니다. 

이때, \(x\)는 \(a\)의 \(n\) 제곱근이라고 불립니다.

실수해

만약 \(x\)가 실수라고 가정하면, 방정식 \(x^n = a\)의 실수 해가 바로 \(n\) 제곱근입니다. 그러므로 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. \(x\)이 짝수일 때,

• \(a>0\)이면, \(a\)의 \(n\)제곱근은 \(\sqrt[n]{a}, -\sqrt[n]{a}\)의 실근 2개를 가집니다.
• \(a=0\)이면, \(a\)의 \(n\)제곱근은 \(0\), 중복도를 제외하고 실근 1개를 가집니다.
• \(a<0\)이면, \(a\)의 \(n\)제곱근은 실수에서 존재하지 않습니다.

2. \(x\)이 홀수일 때,

• \(a\)의 \(n\)제곱근은 \(\sqrt[n]{a}\)의 실근 1개를 가집니다.

이를 쉽게 이해하는 방법은 두 도형의 위치 관계로써 생각하는 것입니다. 즉, 방정식 \(x^n = a\)는 함수 \(y=x^n\)과 \(y=a\)와의 교점의 개수로 이해될 수 있습니다. 그림에서 \(y=x^n\)은 \(n\)에 따라 크게 2개의 개형을 가지고, \(y=a\)는 \(x\)축에 평행한 직선으로 나타납니다.

1. 만약 \(n\)이 짝수이면, \(y=x^n\)은 포물선 형태 (\(y)-축 대칭)의 오른쪽의 그림과 같은 개형을 가집니다. 따라서

• \(a > 0\)이면, 2개의 교점을 가집니다.
• \(a = 0\)이면, 접하고 1개의 교점을 가집니다.
• \(a < 0\)이면, 교점을 가지지 않습니다.

2. 만약 \(n\)이 홀수이면, \(y=x^n\)은 원점 대치의 왼쪽의 그림과 같은 개형을 가집니다. 따라서, \(a\)의 값에 관계없이 항상 1개의 교점을 가집니다.

복소수 해

만약 \(x\)가 복소수이면, 방정식 \(x^n=a\)은 항상 방정식의 차수만큼의 해를 가집니다. 즉, \(n\)개의 복소수 해를 가집니다.

실근의 개수는 위에서 알고 있으므로, 각각의 경우에 나머지가 복소수의 해가 됩니다. 예를 들어, 만약 \(n=6\)이고 \(a>0\)이면, 실수 해를 2개 가지므로, 복소수 해 4개를 가집니다.

방정식 \(x^4=16\)과 같은 경우를 생각해 보십시오. 이 경우는 실수 해 2개를 가지고, 그 값은 \(x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm 2\)입니다. 그리고, 남은 해를 구하기 위해 고차식의 인수분해를 이용할 수 있습니다. 즉,

• \(x^4=16\)
• \(x^4-16=0\)
• \((x^2-4)(x^2+4)=0\)
• \(x=\pm 2\;\; \mbox{or}\;\; x=\pm 2i\)

거듭제곱근의 성질

이전에 다루었던 지수법칙과 마찬가지로 거듭제곱근도 다음과 같은 성질을 가집니다.

\(a>0, b>0\)이고, \(m, n\)이 2 이상의 자연수일 때, 아래와 같은 성질이 있습니다.

• \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}\)
• \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
• \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\)
• \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\)
• \(\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}\) (단, \(p\)는 자연수)

거듭제곱근 \(\sqrt[n]{a}\)의 성질에서 주의해야 할 부분은 \(a\)를 양수만 다룬다는 점입니다. 
i) 만약 \(a\)가 양수이면, \(\sqrt[n]{a}\)는 실수입니다.
ii) 만약 \(a\)가 영이면, \(\sqrt[n]{a}=0\)이 되므로 자명한 경우입니다.
iii) 만약 \(a\)가 음수이면,

• 만약 \(n\)이 홀수이면, 홀수 제곱근을 나타내므로 실수입니다.
• 만약 \(n\)이 짝수이면, 짝수 제곱근 중에 실수가 아닌 경우이므로 복소수(허수)입니다.

이 성질 자체를 이용해서 계산을 하는 문제는 크게 주목할 필요가 없습니다. 왜냐하면, 여기서 다루어지는 \(n\)제곱근은 지수의 확장에서 유리수 지수로 변경이 가능하기 때문입니다. 실제 연습에서는, \(n\)제곱근으로 다루는 것보다 유리수 지수로 다루는 것이 훨씬 편할 수 있기 때문입니다. 다만, 어떤 것이 실수인지 복소수인지를 판단하는 것은 중요한 문제일 것입니다.

응용예제

응용예제1

연속하는 두 자연수 \(m,n\)에 대하여 \(1<m<n\)이 성립할 때,

\(\quad\)\(A=\sqrt{m\sqrt[3]{n}},\;B=\sqrt[3]{n\sqrt{m}},\;C=\sqrt{\sqrt{mn}}\)

에 대하여 \(|A-B|+|B-C|+|C-A|\)를 간단히 하면?