직선과 평면의 평행과 수직

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수학에서, 가장 자주 쓰이는 공식 중에 하나는 피타고라스 정리일 것이고, 그 외에도 직각과 관련된 많은 공식들이 있으므로, 공간에서도 그 대상이 되는 직선과 평면에서도 직각은 매우 유용하게 사용됩니다.

반면에 평행은 서로 만나지 않기 때문에 수직 관계가 없는데, 어쨌든, 평행 (또는 꼬인 위치)이 아니면 서로 만나고, 만나면 수선의 발을 통해서 직각이 발생하므로, 직각을 만들지 못하는 특별한 경우, 즉 평행을 알아둘 필요가 있습니다.

직선과 평면의 평행

공간에서, 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면 사이의 평행에 대하여 다음과 같은 자명해 보이는 기본적인 몇 가지 성질이 있습니다.

첫 번째, 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)이 평행할 때, 직선 \(l\)을 포함하는 평면 \(\beta\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 교선 \(m\)은 직선 \(l\)과 평행합니다.

두 번째, 두 직선 \(l\)과 \(m\)이 평행할 때, 직선 \(l\)은 포함하고 직선 \(m\)은 포함하지 않는 평면 \(\alpha\)는 직선 \(m\)과 평행합니다.

세 번째, 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 한 점 \(\mathrm{P}\)를 지나고 평면 \(\alpha\)에 평행한 두 직선 \(l,m\)을 포함하는 평면 \(\beta\)는 평면 \(\alpha\)와 평행합니다.

네 번째, 직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 평행할 때, 직선 \(l\)을 포함하는 두 평면 \(\beta, \gamma\)와 평면 \(\alpha\)와의 교선을 각각 \(m,n\)이라 하면 두 교선 \(m,n\)은 서로 평행합니다.

두 직선이 이루는 각

같은 평면 위의 두 직선은 만나거나, 만나지 않는데, 만나지 않으면 평행입니다. 만나는 두 직선은 몇 가지 방법으로 두 직선 사이의 기울기를 구할 수 있습니다.

공간에서 두 직선은 다른 평면 위에 놓이는 경우가 대부분이므로, 서로 다른 평면 위에 놓인 두 직선 사이의 각은 별도로 정의할 필요가 있습니다.

공간에서 두 직선 \(l,m\)이 꼬인 위치에 있을 때, 두 직선 중에 하나, 또는 둘 다를 평행이동해서 같은 평면 위에 놓이면, 두 직선은 평행하거나, 또는 만납니다. 이때, 두 직선이 이루는 각을 원래 직선이 이루는 각으로 정의합니다.

직선과 평면의 수직

직선과 평면은 평행하거나 만납니다. 

직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 \(\mathrm{O}\)에서 만날 때, 직선 \(l\) 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{A}\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{B}\)라고 놓으면 \(\angle\mathrm{AOB}\)를 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이라고 합니다.

한편, 직선과 평면이 이루는 각이 직각임을 어떻게 보일 수 있을까요?

직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\) 위의 임의의 서로 다른 두 직선 \(m,n\)과 각각 수직이면 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)는 수직입니다. 이때, 직선들은 꼬인 위치에 놓을 수 있는데, 위에서 정의한 것처럼, 직선을 평행이동해서 각을 측정할 수 있습니다.

또한, 직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 수직이면 직선 \(l\)은 평면 \(\alpha\) 위의 모든 직선과 수직입니다.

삼수선의 정리

평면 위의 두 직선과 평면 위에 있지 않은 한 직선이 각각 수직이면, 해당 평면과 평면 밖의 직선은 수직입니다. 

이와 비슷하게 평면과 평면 위의 한 직선, 그리고 평면 밖의 한 점 사이의 수직 관계를 나타내는 것이 삼수선의 정리입니다.

점 \(\mathrm{P}\)는 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 한 점, 직선 \(l\)은 평면 \(\alpha\) 위의 한 직선, 점 \(\mathrm{H}\)는 직선 \(l\) 위의 한 점, 점 \(\mathrm{O}\)는 평면 \(\alpha\) 위의 있지만, 직선 \(l\) 위의 있지 않은 한 점이라고 놓으면 다음과 같은 성질이 성립합니다.

• \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\), \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\;\)이면 \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\)
• \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\), \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\;\)이면 \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\)
• \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\), \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\), \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}\;\)이면 \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\)

이면각

공간에서, 두 평면은 평행하거나 만납니다. 두 평면이 서로 만나서 생기는 직선을 교선이라고 부르는데, 이 교선에 의해 두 평면은 각각 두 개로 나뉘고, 각각을 반평면이라고 부릅니다. 

이때, 반평면 중에서 자신의 평면이 아닌 다른 평면 중에 가까운 두 평면으로 이루어진 도형을 이면체라고 하고, 두 평면 사이의 각도를 이면체의 각도, 줄여서 이면각이라고 합니다. 빳빳한 종이 또는 알루미늄을 구부리면 만들어지는 모양이 이면체라고 생각할 수 있고, 그 사이의 각도를 이면각이라고 생각할 수 있습니다.

한편, 이면각의 크기는 두 반평면 각각에 놓인 임의의 한 점에서 교선에 수선의 발을 내립니다. 이때, 두 수선의 발이 대부분 서로 만나지 않기 때문에, 평행이동을 통해서, 두 수선의 발이 서로 만나도록 만듭니다. 여기서 만들어지는 각도가 이면각의 크기입니다.

두 평면의 수직

한 평면 \(\alpha\)에 수직인 직선 \(l\)을 포함하는 평면 \(\beta\)라고 하면 두 평면은 수직입니다. 위의 이면각의 크기가 90도인 두 평면으로 생각할 수 있습니다.

두 평면 \(\alpha,\beta\)서로 수직일 때, 평면 \(\beta\) 위의 한 점 \(\mathrm{A}\)에서 두 평면 \(\alpha,\beta\)의 교선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{O}\)라고 하면 \(\overline{\mathrm{AO}} \perp \alpha\)입니다. 직전의 명제의 역이라고 생각할 수 있습니다.