이계도함수와 극대·극소

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이계도함수는 미적분2에서 다루는 초월함수의 그래프의 개형에서 중요한 역할을 합니다. 

미적분1의 함수의 증가와 감소에서, 함수 \(f(x)\)가 주어진 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서

• \(f'(x) >0\)이면 \(f(x)\)는 그 구간에서 증가합니다.
• \(f'(x) <0\)이면 \(f(x)\)는 그 구간에서 감소합니다.

미적분1의 함수의 극대와 극소에서, 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이고, \(x=a\)의 좌우에서

• \(f(x)\)가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대이고, \(f(a)\)를 극댓값이라고 합니다.
• \(f(x)\)가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소이고, \(f(a)\)를 극솟값이라고 합니다.

이것을 도함수를 통해서 표현하면, 주어진 구간에서 미분가능한 함수는 \(f'(a)=0\)이고, 임의의 아주 작은 양의 \(h\)에 대해,

• \(f'(a-h) > 0, f'(a+h) < 0\)이면, \(x=a\)에서 극대입니다.
• \(f'(a-h) < 0, f'(a+h) > 0\)이면, \(x=a\)에서 극소입니다.

한편, 미적분1에서는 다항함수, 오직 삼차함수와 사차함수, 등을 다룸으로써, 위와 같이 도함수의 증감으로부터 극대, 극소를 판정하지 않고, 도함수의 근을 판정하고, 그런-다음 그래프의 개형을 그리고, 그런-다음 그래프로부터 극대와 극소를 판정합니다. 다항함수의 이런 특징은 더 높은 차수에서도 여전히 유지됩니다.

반면에, 초월함수를 다루는 미적분2는 초월함수와 다함함수의 곱셈 또는 나눗셈 등의 형태의 함수를 다룸으로써, 그래프의 개형을 그리기가 쉽지 않습니다. 따라서, 극대와 극소는 그래프의 개형이 아니라, 도함수의 증감표로부터 판정될 수 있습니다.

게다가, 미분가능한 함수에서, \(x=1\)에서 극대를 가진다는 의미는,

• \(f'(1-h)>0,\; f'(1)=0,\; f'(1+h)<0 \cdots(1)\)

이고, 이계 도함수는 도함수의 증감 상태로부터 구해지므로, 식 (1)은 도함수가 감소상태(양수\(\rightarrow\)0\(\rightarrow\)음수)에 있음을 알 수 있습니다. 

따라서, 극대에서의 이계도함수는 \(f''(1) < 0\)입니다.

반면에 극소에서는 도함수 \(f'(x)\)는 증가상태(음수\(\rightarrow\)0\(\rightarrow\)양수)이므로, \(f''(x) > 0\) 값을 가집니다.

정리하면, 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(a)=0\)일 때,

\(f''(a) < 0\)이면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대입니다.

\(f''(a) > 0\)이면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소입니다.