벡터의 실수배

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스칼라, 즉 실수에서, 같은 것을 두 번 더하면, \(a+a=2a\)로 나타냅니다. 

벡터는 크기와 방향을 가지는데, 크기가 2배가 되는 것은 굉장히 직관적인 것으로 화살표의 길이가 2배가 됨을 쉽게 이해가 됩니다.

반면에 방향이 2배가 되는 것은 어떤 의미일까요? 예를 들어, 동쪽으로 50km/h로 달리는 자동차가 2배가 되면, 2배의 동쪽으로 100km/h로 달리는 자동차와 같이 표현해야 하는 걸까요?

어쨌든, 유클리드 벡터에서 방향은 시작점에서 끝점으로의 방향을 나타낼 뿐으로써, 정량화해서 나타낼 수는 없습니다. 즉, 벡터의 방향은 배수의 개념이 없으므로, 2배의 동쪽과 같은 표현은 없습니다.

따라서, 같은 벡터를 몇 개를 더하는 배수의 개념은 벡터의 크기에만 영향을 미치고, 벡터의 실수배라고 말합니다. 예를 들어, \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\)로 나타내고, \(\vec{a}\)와 방향은 같고, 크기가 2배가 되는 벡터를 말합니다.

한편, 벡터의 덧셈에서 정의한 것처럼, \(-\vec{a}\)는 \(\vec{a}\)의 덧셈에 대한 역벡터로써, 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터입니다. 즉, 음의 부호는 그 자체로 방향이 반대임을 나타내는 것으로 크기와는 상관이 없습니다.

이때, \(-\vec{a}\)를 두 번 더한, \((-\vec{a})+(-\vec{a})=-2\vec{a}\)는 \(\vec{a}\)와 방향이 반대이고, 크기가 2배인 벡터를 말합니다.

정리하자면,

영벡터가 아닌 벡터 \(\vec{a}\)와 실수 \(k\)에 대하여

• \(k>0\)이면, 같은 방향의 선분의 길이가 \(k\)배인 벡터
• \(k<0\)이면, 반대 방향의 선분의 길이가 \(-k\)배인 벡터 (이때, \(-k>0\)입니다.)
• \(k=0\)이면, 영벡터가 됩니다.

벡터의 실수배의 성질

벡터의 실수배는 원래 실수의 배수의 성질을 그대로 가집니다. 왜냐하면, 벡터의 방향은 실수배와 상관없고, 단지 벡터의 크기인 스칼라(실수)에 대한 배수를 나타내기 때문입니다.

즉, 실수 \(k, l\)과  벡터 \(\vec{a},\;\vec{b}\)에 대하여

• \((kl)\vec{a}=k(l\vec{a})=l(k\vec{a})\) : 결합법칙 (실수의 교환법칙이 성립하므로)
• \((k+l)\vec{a}=k\vec{a} + l \vec{a}\) : 분배법칙
• \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\) : 분배법칙

벡터의 평행

영벡터가 아닌 두 벡터의 0이 아닌 실수배가 존재하면, 두 벡터는 평행이라고 말합니다. 즉, 같은 방향인 것은 물론이고, 반대 방향도 평행이라고 말합니다.

이때, 영벡터는 방향을 결정할 수 없으므로, 제외해야 하고, 마찬가지로 배수가 0이면, 임의의 벡터는 영벡터가 되기 때문에, 이것 또한 제외해야 합니다.

영벡터가 아닌 두 벡터, 예를 들어 \(\vec{a}, \vec{b}\)가 평행하면, \(\vec{a} \parallel \vec{b}\)로 나타내며, 0이 아닌 실수 \(k\)에 대해, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\vec{b}=k\vec{a}\)

서로 다른 세 점 \(\mathrm{A,B,C}\)가 한 직선 위에 존재하기 위한 조건은

• 두 점으로 이루어지는 직선의 방정식에 다른 한 점을 대입했을 때, 식을 만족합니다. 또는
• 서로 다른 두 점으로 만든 기울기가 서로 같습니다.
• 벡터에서는 \(\vec{\mathrm{AC}}=k\vec{\mathrm{AB}}\) (여기서, \(k\neq 0\))

한편, 무리수 상등에서, 서로 다른 두 무리수의 유리수 배수의 합이 0이 되는 경우, 예를 들어,

\(\quad\)\(a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0\)

는, 만약 \(a,\;b\)가 유리수이면, \(a=b=0\)입니다. 다른 형태의 경우,

\(\quad\)\(a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = c\sqrt{2}+d\sqrt{3}\)

는, 만약 \(a,\;b,\;c,\;d\)가 유리수이면, \(a=c,\;b=d\)입니다. 

이와 유사하게, 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\vec{a},\;\vec{b}\)가 평행하지 않을 때, 그의 실수배의 합이 영벡터이면,

\(\quad\)\(k\vec{a}+l\vec{b}=\vec{0}\)

는, 만약 \(k,\;l\)이 실수이면, \(k=l=0\)입니다. 다른 형태의 경우,

\(\quad\)\(k\vec{a}+l\vec{b}=k_1\vec{a}+l_1\vec{b}\)

는, 만약 \(k,\;l,\;k_1,\;l_1\)이 실수이면, \(k=k_1,\;l=l_1\)입니다.