평균값 정리

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Main article: Mean value theorem

연속함수의 일부는 미분가능한 함수입니다. 주어진 구간에서 연속함수는 2가지 정리를 만족합니다. 첫 번째, 닫힌 구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 가지는 극한값의 정리, 두 번째, 닫힌 구간의 끝점의 함숫값이 서로 다를 때, 두 함숫값의 사이에 있는 임의의 값을 선택하면, 구간 내부에 반드시 그 함숫값을 만족하는 값이 존재하는 사잇값 정리(중간값 정리)를 만족합니다.

반면에 주어진 구간에서 미분가능한 함수는 롤의 정리와 보다 일반적인 평균값의 정리를 만족합니다.

롤의 정리

함수 \(y=f(x)\)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능할 때, \(f(a)=f(b)\)이면

\(\quad\)\(f'(c)=0\)

을 만족하는 \(c\)가 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리는 끝점의 함숫값이 서로 같기 때문에, 두 점을 연결한 직선의 기울기가 영이 됩니다.

이런 상황에서, 구간 안에서 미분가능한 함수의 접선의 기울기가 영인 접점의 \(x\)좌표가 구간 안에 반드시 존재한다는 의미입니다. 

평균값의 정리

함수 \(y=f(x)\)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능할 때,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\)

를 만족하는 \(c\)가 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재합니다.

평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화입니다. 즉, 끝점의 함숫값이 서로 같으면, 롤의 정리로 줄어들고, 끝점의 함숫값이 서로 다르면, 두 점을 연결했을 때, 영이 아닌 기울기를 갖게 됩니다.

이런 상황에서, 구간에서 미분가능한 함수의 접선의 기울기가 두 끝점을 연결한 것과 같아지는 접점의 \(x\)좌표가 구간 안에 반드시 존재한다는 의미입니다.