이차방정식의 근의 공식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차방정식의_근의_공식

Further information: Quadratic formula and Completing the square

이차방정식이 인수분해가 되지 않으면, 완전제곱식으로 변형해서 근을 구할 수 있습니다. 그러나 매번 이 과정을 반복하기는 귀찮기 때문에 이차방정식의 일반꼴을 완전제곱식으로 변형해서 근을 구합니다. 이 구해진 식을 이차방정식의 근의 공식이라고 합니다.

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같습니다.

\(ax^2+bx+c=0\)에서, \(a\)는 \(0\)이 아니므로 양변을 \(a\)로 나눌 수 있습니다. 이렇게 이차항 \(x^2\)의 계수를 \(1\)로 만듭니다. 왜냐하면, 완전제곱식이 되기 위해서 더해질 상수항을 쉽게 구하기 위함입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\)

이제 상수항만 우변으로 이항합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}\)

완전제곱식을 만들기 위해 일차항 \(x\)의 계수를 \(2\)로 나누고 제곱한 값을 양변에 더해줍니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2  = - \frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)

\(\quad\)\(\displaystyle \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}= {-{4ac} + {b^2} \over {4a^2}}\)

완전제곱식에 대한 해는 제곱근으로 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}\)

여기서 분모의 제곱근을 잠시 살펴보겠습니다. \(\pm\sqrt{4a^2}=\pm2|a|\)이지만, 앞에 부호가 \(\pm\)이 있을 때에는 절댓값이 의미가 없어집니다. 그래서 \(\pm 2a\)라고 쓸 수 있습니다. 또한 분자쪽에도 \(\pm\)이 있기 때문에 분모에는 쓰지 않아도 상관없으므로 \(2a\)라고 씁니다.

마지막으로 좌변의 상수항을 우변으로 옮겨 식을 정리해 줍니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
x & = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} \\
& = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} \\
\end{align}\) 

이와 같이 구해진 근의 공식은 인수분해가 되지 않을 때에 쉽게 해를 구할 수 있게 해 줍니다.

짝수 공식

한편, 이차방정식의 일차항의 계수 \( b \)가 짝수인 경우 \(b = 2b'\)을 대입하면, 근의 공식을 간단히 한 식을 짝수 공식이라고 부릅니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
x & = \frac{-2b'\pm\sqrt{\left(2b'\right)^2-4ac\  }}{2a} \\
& = \frac{-2b'\pm\sqrt{4 \left(b'^2-ac\right)\  }}{2a} \\
& = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a} \\
\end{align}\)

짝수 공식은 식이 복잡할수록 위력을 발휘하기 때문에 쉬운 문제를 풀 때에도 이용해서 쉽게 적용이 되도록 연습을 해 두어야 합니다.