속도와 가속도(기하와 벡터)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/속도와_가속도(기하와_벡터)

미적분1에서 소개한, 속도와 가속도는 오직 직선 운동을 다루기 때문에, 벡터가 스칼라로 줄어드는 특별한 경우였습니다.

이차원 이상에서는 벡터는 두 성분 이상을 가지기 때문에, 더 이상 스칼라로 줄어들지 않고, 벡터 그 자체를 표기하고 다루어야 합니다.

한편, 직교 좌표 시스템에서, 벡터는 각 좌표축의 단위벡터에 대해, 좌표를 스칼라로 가지는 튜플, 즉 평면에서는 두 쌍, 공간에서는 세 쌍의 (구성)성분으로 나타낼 수 있습니다.

이것은, 벡터의 스칼라 성분이 축 방향에 대해, 각각, 측정 가능하다면, 예를 들어, 위치의 구성성분이 \(x\)-축 성분과 \(y\)-축 성분으로 나누어서 측정이 될 수 있으면, 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미합니다.

\(\quad\)\(\vec{p}=(f(t), g(t))=f(t) \vec{e_x}+g(t) \vec{e_y}\)

이로부터 속도는 위치를 미분해서 다음과 같이 쓸 수 있는데, 곱 규칙을 사용해서 미분을 수행합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{v} & =\frac{d\vec{p}}{dt} \\
& = \frac{df(t)}{dt}\vec{e_x}+f(t)\frac{d\vec{e_x}}{dt}+ \frac{dg(t)}{dt}\vec{e_y}+g(t)\frac{d\vec{e_y}}{dt} \\
\end{align}\)

이때, 좌표축이 움직이지 않는 것으로 가정하면, 좌표-축 위의 단위 벡터 또한 움직이지 않기 때문에, 상수로 취급되어 0이 됩니다.

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{v} =\frac{df(t)}{dt}\vec{e_x}+\frac{dg(t)}{dt}\vec{e_y}\)

좌표축이 움직이는 좌표 시스템도 있기 때문에, 예를 들어, 지구에 고정된 좌표축은 지구 밖에서 보면 공전과 자전을 하기 때문에, 축 자체가 움직이며, 그때에는 단위벡터를 미분해야 합니다. 벡터 미적분학을 참고하십시오.

평면 위의 운동에서의 속도

좌표 평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 위치벡터 \(\vec{p}=(x,y)\)로 나타내고, 두 좌표 \(x,y\)를 \(t\)의 함수

\(\quad\)\(x=f(t), y=g(t)\)

로 나타낼 수 있을 때, 

점 \(\mathrm{P}\)에서 \(x\)-축과 \(y\)-축에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{P}_x\), \(\mathrm{P}_y\)라 하면,

점 \(\mathrm{P}_x\)는 \(x\)-축 위에서 \(x=f(t)\)로 나타내어지는 직선운동을 나타내고, 점 \(\mathrm{P}_y\)는 \(y\)-축 위에서 \(y=g(t)\)로 나타내어지는 직선운동을 나타냅니다.

따라서, 시각 \(t\)에서의 점 \(\mathrm{P}_x\)의 속도를 \(v_x\), 점 \(\mathrm{P}_y\)의 속도를 \(v_y\)로 놓으면

\(\quad\)\(\displaystyle v_x = \frac{dx}{dt}=f'(t)\), \(\displaystyle v_y = \frac{dy}{dt}=g'(t)\)

이때, \(v_x\)와 \(v_y\)를 성분으로 하는 벡터는, 위치를 미분한, 시각 \(t\)에서의 속도입니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{v} & =(v_x,v_y) \\
& =\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) \\
& = (f'(t),g'(t)) \\
\end{align}\)

또한, 점 \(\mathrm{P}\)의 속력, 즉 속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
|\vec{v}| & = \sqrt{v_x^2+v_y^2} \\
& = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \\
& = \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} \\
\end{align}\)

평면 위의 운동에서의 가속도

같은 환경 아래에서, 시각 \(t\)에서의 점 \(\mathrm{P}_x\)의 가속도를 \(a_x\), 점 \(\mathrm{P}_y\)의 가속도를 \(a_y\)로 놓으면

\(\quad\)\(\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\), \(\displaystyle a_y = \frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=g''(t)\)

이때, \(a_x\)와 \(a_y\)를 성분으로 하는 벡터는, 속도를 미분한, 시각 \(t\)에서의 가속도입니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{a} & =(a_x,a_y) \\
& =\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right) \\
& = (f''(t),g''(t)) \\
\end{align}\)

또한, 점 \(\mathrm{P}\)의 가속력, 즉 가속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
|\vec{a}| & = \sqrt{a_x^2+a_y^2} \\
& = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2} \\
& = \sqrt{\{f''(t)\}^2+\{g''(t)\}^2} \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

좌표평면 위를 움직이는 점 \(\rm P\)의 시각 \(\displaystyle t \left(0<t<\frac{\pi}{2}\right)\)에서의 위치 \((x,y)\)가

\(\quad\)\(x=t+\sin t \cos t,\;\;y=\tan t\)

이다. \(\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}\)에서 점 \(\rm P\)의 속력의 최솟값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 9번]