타원의 평행이동

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타원의 그래프의 평행이동도 역시 포물선의 그래프의 평행이동과 이론적으로 동일합니다. 반면에 포물선은 준선의 위치에 따라 서로 다른 2개의 방정식이 있지만, 타원의 방정식은 두 초점의 놓인 위치에 상관없이 방정식은 동일합니다.

타원의 방정식 

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

을 \(x\)-축으로 \(m\)만큼 \(y\)-축으로 \(n\)만큼 평행이동한 방정식은

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\cdots(1)\)

타원의 방정식의 일반형

물론, 고등학교 교과서에서 다루는 타원의 방정식이 일반적인 경우는 아닙니다. 타원이 일반적인 모양이 되려면, 두 초점이 놓인 직선이 임의의 직선이 될 경우인데, 꽤 복잡하기 때문에 다루지 않습니다.

어쨌든, 대칭축이 \(x\)-축 또는 \(y\)-축에 평행한 직선으로 제한적인 상황에서,

식 (1)을 전개한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\)

이때, \(AB>0,\;A\neq B\)여야 하고, 더불어, 이차항의 계수를 양수로 두고, \(x,y\)의 완전제곱식으로 고쳤을 때, 오른쪽 변에 양수가 남아야 합니다. 즉, 다음과 같은 경우는 \(x,y\)가 실수로는 만들 수 없는 식이기 때문에, 타원이 되지 않습니다.

\(\quad\)\((x-m)^2+3(y-n)^2=-3\)

타원과 직선의 위치 관계

두 도형의 위치 관계는 타원과 직선에 대해 적용이 가능합니다.

타원은 최고 차수가 2차이고, 직선은 1차이므로, 연립방정식은 이차 방정식입니다. 따라서, 이차방정식의 판별식에 의해 교점의 개수를 결정할 수 있습니다.