이차함수와 이차부등식의 관계

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차함수와_이차부등식의_관계

이차부등식에서 이차부등식의 해를 구하기 위한 방법에 대해 알아보았습니다. 또한, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에서 이차방정식의 실근의 존재 유무에 대해 알아보았습니다. 여기서는 이차부등식을 이차함수와 \(x\)축 (\(y=0\)) 사이의 대소 비교를 통해서 해집합을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다.

그래프의 개형은 최고차항이 양수인 경우만 다룹니다. 최고차항이 음수인 경우에는 양수로 만들어서 사고하시기 바랍니다.

예를 들어 \(ax^2+bx+c>0\;(a>0)\)의 해집합을 다음과 같은 과정으로 구합니다.

• \(y_1=ax^2+bx+c\)와 \(y_2=0\)인 2개의 도형을 그립니다.
• \(y_1>y_2\)를 만족하는 \(x\)좌표를 구합니다.

즉, 이차함수의 \(y\)좌표가 \(x\)축 (\(y=0\))보다 크다는 것은 위쪽에 있다는 의미입니다. 그러므로 이차함수의 그래프에서 \(x\)축 위쪽의 그래프가 나오기 위한 \(x\)좌표의 모임이 해집합으로 구성됩니다. 그렇기 때문에 이차함수의 그래프와 \(x\)축의 위치 관계를 아는 것이 중요합니다.

반면에 부등호의 방향이 반대인 경우에는 이차함수의 그래프가 \(x\)축 아래에 나오기 위한 \(x\)좌표의 모임이 해집합으로 구성됩니다.

이차식의 판별식이 양수인 경우

이차방정식이 서로 다른 2개의 실근을 갖는 경우이므로, 이차함수와 \(x\)축이 2곳에서 만나게 됩니다. 물론 만나는 지점은 근의 공식을 이용해서 항상 구할 수 있습니다.

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\;(a>0)\)이 서로 다른 2개의 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha<\beta)\)를 가질 때, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
ax^2+bx+c>0& \Rightarrow x<\alpha\; \text{or}\; x>\beta\\
ax^2+bx+c<0& \Rightarrow \alpha<x<\beta
\end{align}\)

이차식의 판별식이 0인 경우

이차방정식이 중근을 갖는 경우이므로, 이차함수와 \(x\)축이 접하는 경우입니다.

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\;(a>0)\)이 서로 같은 2개의 실근인 중근 \(\alpha\)를 가질 때, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)i) \(ax^2+bx+c\geq0\) : 해는 모든 실수

\(\quad\)ii) \(ax^2+bx+c>0\) : \(x\neq \alpha\)인 실수

\(\quad\)iii) \(ax^2+bx+c\leq0\) : \(x=\alpha\)

\(\quad\)iv)  \(ax^2+bx+c<0\) : 해 없음

이차식의 판별식이 음수인 경우

이차방정식이 허근을 갖는 경우이므로, 이차함수와 \(x\)축이 만나지 않는 경우입니다.

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\;(a>0)\)이 서로 다른 2개의 허근을 가질 때, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)i) \(ax^2+bx+c\geq0\) : 해는 모든 실수

\(\quad\)ii) \(ax^2+bx+c>0\) : 해는 모든 실수

\(\quad\)iii) \(ax^2+bx+c\leq0\) : 해 없음

\(\quad\)iv)  \(ax^2+bx+c<0\) : 해 없음

고등학교 교과과정에서 그래프의 개형을 그려서 문제를 해결하는 경우는 이후에 삼차방정식, 사차방정식에서 매우 유용하게 사용될 수 있습니다. 그러므로 도표를 외우기보다는 주어지는 조건의 그래프 개형을 그려서 자연스럽게 해집합을 찾을 수 있도록 연습하는 것이 좋겠습니다.

이차함수와 일차함수 사이의 부등식 관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계와 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계는 같은 수식을 좌우변을 어떻게 나누는지에 따라 달라지는 경우임을 알아보았습니다.

마찬가지로, 이차함수 \(y=f(x)\)와 일차함수 \(y=g(x)\) 사이의 그래프의 위치 관계에 따른 부등식의 해집합을 구하는 문제도 이차함수와 \(x\)축 사이의 위치 관계에 따른 해집합을 구하는 것과 같은 문제로 해석할 수 있습니다.

즉, \(f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1\;(a_1>0)\)와 \(g(x)=mx+n\) 사이의 만나는 점이 \(\alpha, \beta\;(\alpha<\beta)\)인 경우에 \(f(x)>g(x)\)의 해집합은 다음과 같이 바꾸어서 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_1x^2+b_1x+c_1>mx+n\)

\(\quad\)\(a_1x^2+(b_1-m)x+(c_1-n)>0\)

여기서 \(a_1=a, (b_1-m)=b, (c_1-n)=c\)로 두면, 이차함수 \(h(x)=ax^2+bx+c\)와 \(x\)축 사이에 만나는 지점이 \(\alpha, \beta\;(\alpha<\beta)\)입니다.

그러므로 \(h(x)>0\)의 해집합은 \(x\)축 위쪽 부분이 그려지는 \(x<\alpha\) 또는 \(x>\beta\)입니다.

이차함수와 이차함수 사이의 부등식 관계

두 이차함수 사이의 부등식의 관계도 이차함수와 \(x\)의 관계로 바꾸어 사고할 수 있습니다.

예를 들어, \(f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1\;(a_1>0)\)와 \(g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2\;(a_2<0)\) 사이의 만나는 점이 \(\alpha, \beta\;(\alpha<\beta)\)인 경우에 \(f(x)>g(x)\)의 해집합은 다음과 같이 바꾸어서 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_1x^2+b_1x+c_1>a_2x^2+b_2x+c_2\)

\(\quad\)\((a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2)>0\)

여기서 \((a_1-a_2)=a, (b_1-b_2)=b, (c_1-c_2)=c\)로 두면, 이차함수 \(h(x)=ax^2+bx+c\)와 \(x\)축 사이에 만나는 지점이 \(\alpha, \beta\;(\alpha<\beta)\)입니다.

그러므로 \(h(x)>0\)의 해집합은 \(x\)축 위쪽 부분이 그려지는 \(x<\alpha\) 또는 \(x>\beta\)입니다.