역함수의 미분법

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Main article: Inverse functions and differentiation

수학에서,  함수(function) \(y = f(x)\)의 역(inverse)은, 어떤 방식으로, \(f\)의 효과를 취소(undo)하는 함수입니다 (공식적이고 상세한 정의에 대해서는 역함수(inverse function)를 참조하십시오). \(f\)의 역은 \(f^{-1}\)로 표시됩니다. 명제 \(y = f(x)\)와 \(x = f^{-1}(y)\)는 동등합니다.

그들이 존재한다고 가정했을 때, 두 도함수는, 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)이 제안하는 것처럼, 역수(reciprocal)입니다; 즉:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1. \)

이것은 체인 규칙(chain rule)의 직접적인 결과입니다, 왜냐하면

\(\quad\)\(\displaystyle  \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} \)

그리고 \(x\)에 관한 \(x\)의 도함수는 1입니다.

\(x\)에 대한 \(y\)의 의존성 그리고 미분화가 일어나는 점을 명시적으로 쓰고 라그랑주의 표기법을 사용하여, 역의 도함수에 대한 공식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}\cdots(1)\).

이것이 마치 새로운 것처럼 느껴질 수도 있지만, 이전의 합성함수의 미분법의 특별한 경우입니다. 즉, 합성함수의 미분법에서, \(g(x)=f^{-1}(x)\)이면, 합성함수의 결과는 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(y=(f\circ g)(x)=f(g(x))=x\)

이때, 양쪽 변을 \(x\)에 대해서 미분하면,

\(\quad\)\(f'(g(x))g'(x)=1\cdots(2)\)

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
g'(x)=\left(f^{-1}\right)'(x) & =\frac{1}{f'(g(x))} \\
& = \frac{1}{f'(y)} \\
\end{align}\)

고등학교 교과서에서 주로, 식 (1)을 많이 소개하지만, 식 (1)과 (2)는 완전히 동일한 식입니다. 물론 식 (2)에서 \(g(x)=f^{-1}(x)\)입니다. 따라서, 분수가 없는 식 (2)를 사용하는 것이 더 바람직한데, 게다가, 역함수는 대체적 역함수를 구하지 않고, 문제에 접근하는 것이 핵심인 것처럼, 여기서도 함수 또는 역함수가 쉬운 것의 도함수로부터 문제를 해결하는 것이 핵심입니다.

응용예제

응용예제1

정의역이 \(\{x|x \ge -1\}\)인 함수 \(f(x)=x^2+2x-1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(\displaystyle \lim_{x\to -1+}\frac{g(x)}{f(x)-2x}\)의 값은?

응용예제2

함수 \(f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 미분가능하고

\(\quad\)\(\displaystyle g\left(\frac{x+8}{10}\right)=f^{-1}(x),\;g(1)=0\)
을 만족시킬 때, \(\left|g'(1)\right|\)의 값을 구하시오. [4점] [2020학년도 수능 가형 26번]

응용예제3

함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(g'(f(-1))\)의 값은? [3점] [2019학년도 수능 가형 9번]