함수의 극한

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/함수의_극한

Original article: Limit of a function

수열의 극한은 그의 인덱스가 자연수를 취함으로써, 자연수가 증가하는 방향으로의 극한, 즉 \(n \to \infty\)일 때의 극한만을 다룹니다. 이것은 그의 인덱스가 자연수로 기인해서 생기는 문제입니다.

반면에 함수의 극한은 인수에 대해 실수를 취함으로써, \(x\to 1\)와 같은 접근이 가능해집니다. 극한에서 접근은 어떤 값에 점점 다가가는 것으로 표현되므로, 1에 접근하는 것은 두 가지 방향이 있습니다. 즉, 큰 쪽 (오른쪽 또는 위 쪽)에서 접근하는 경우와 작은 쪽 (왼쪽 또는 아래쪽)에서 접근하는 방법이 있습니다. 물론 접근한다는 것은 1 자체가 되지는 않지만, 계산할 때에는 1과 같습니다 (\(0.\dot{9}\)을 생각해 보십시오).

이것을 표현하는 방법은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(1+0\) 또는 \(1+\) 또는 \(1^+\) : 1보다 크지만, 1에 점점 접근하는 상태

\(\quad\)\(1-0\) 또는 \(1-\) 또는 \(1^-\) : 1보다 작지만, 1에 점점 접근하는 상태

예를 들어, \(f(x) = 2x + 1\)일 때, \(x \to 1\)에서의 극한은 다음과 같이 씁니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (2x+1)=3\)

이것은 \(x = 1\)에서의 함숫값 \(f(1) = 3\)과 같습니다.

물론 이때에는 하나의 값을 가지기 때문에, 수열의 극한에서와 마찬가지로, \(x \to 1\)에서 함수 \(f(x)\)는 수렴하고, 그의 극한은 3이라고 말합니다.

다른 예제로, 함수 \(\textstyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)에 대해 \(x \to 1\)에서의 극한은 얼마일까요?

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\)

이 식은 약분을 할 수 있는 경우인데, 왜냐하면 \(x \to 1\)라는 것은 1은 아니고, 따라서 \((x – 1)\)은 영이 아니기 때문입니다. 그러므로 다음의 극한을 가집니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1)=2\)

물론 1 이외의 점에서는 분모가 영이 되지 않기 때문에, 함숫값 구하듯이 대입해서 구할 수 있기 때문에 함숫값 자체가 극한값입니다.

반면에 다른 예제로, 함수 \(\textstyle f(x)=\frac{1}{x-1}\)에 대해 \(x \to 1\)에서의 극한은 \(\frac10\) 모양이므로 값을 정할 수 없고. 따라서 발산합니다.

좌극한과 우극한

간혹은 극한의 방향을 정해야 구할 수 있는 경우가 있습니다. 

예를 들어 다음 함수 \(\textstyle f(x)=\frac{x^2-1}{|x-1|}\)에 대해 \(x \to 1\)에서의 극한은 절댓값을 놔두고는 계산이 불가능하므로, 절댓값을 없애기 위해서 1보다 큰 경우와 1보다 작은 경우로 나누어서 생각해야 합니다.

그래서 먼저 1보다 큰 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{(x-1)}\)

절댓값 안의 값이 양수이므로 그냥 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \frac{x^2-1}{(x-1)}=\lim_{x \to 1+0} (x+1)=2+0=2\)

이것은 1보다 오른쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 우극한이라고 부릅니다.

반면에, 1보다 작은 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{-(x-1)}\)

절댓값 안의 값이 음수이므로 부호를 반대로 해서 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{-(x-1)}=\lim_{x \to 1-0} -(x+1)=-2+0=-2\)

이것은 1보다 왼쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 좌극한이라고 부릅니다.

이런 경우에 1에서의 극한은 어떻게 구할까요? 이전 함수에서와 다르게 ''어떤 점에서의 극한을 구할 때 그의 좌극한과 우극한으로 따로 구해야 할 경우에는 좌극한과 우극한이 같을 때에만 극한값이 존재한다''고 말합니다.

따라서 이 경우에 1에서의 극한은 존재하지 않습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\)인 원이 \(y\)-축과 만나는 점을 \(\mathrm{P}\), 원 \((x-1)^2+y^2=1\)과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하고 직선 \(\mathrm{PQ}\)와 \(x\)축이 만나는 점을 \(\mathrm{R}\)이라고 하자. 이때, \(r\)이 0에 한없이 가까워질 때, 점 \(\mathrm{R}\)이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하여라. (단 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)의 \(y\)-좌표는 양수이다.)

응용예제2

그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=2\)인 선분 \(\mathrm{AB}\)를 지름으로 하는 원 \(O_1\)과 반지름의 길이가 \(r\)인 원 \(O_2\)가 점 \(\mathrm B\)에서 내접하고 있다. 점 \(\mathrm A\)에서 원 \(O_2\)에 그은 접선의 접점을 \(\mathrm P\), 이 접선이 원 \(O_1\)과 만나는 점 중 \(\mathrm A\)가 아닌 점을 \(\mathrm Q\)라 할 떼, \(\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0+} \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{r}\)의 값을 구하시오. 

응용예제3

그림과 같이 \(\overline{\rm{AB}} =2, \;\angle \rm{B}=\frac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(\rm{ABC}\)에서 중심이 \(\rm{A}\), 반지름의 길이가 1인 원이 두 선분 \(\rm{AB}, \rm{AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\rm{D, E}\)라 하자.

호 \(\rm{DE}\)의 삼등분점 중 점 \(\rm{D}\)에 가까운 점을 \(\rm{F}\)라 하고, 직선 \(\rm{AF}\)가 선분 \(\rm{AF}\)가 선분 \(\rm{BC}\)와 만나는 점을 \(\rm{G}\)라 하자.

\(\angle \rm{BAG} = \theta\)라 할 때, 삼각형 \(\rm{ABG}\)의 내부와 부채꼴 \(\rm{ADF}\)의 외부의 공통부분의 넓이를 \(f(\theta)\), 부채꼴 \(\rm{AFE}\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 하자. \(\displaystyle 40\times \lim_{\theta \to 0+} \frac{f(\theta)}{g(\theta)}\)의 값을 구하시오. (단, \(0< \theta < \frac{\pi}{6})\) [3점] [2021학년도 수능 가형 24번]

응용예제4

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 최댓값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 14번]

\(\quad\)(가) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{x^3}=2\)

\(\quad\)(나) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{x^2}=-4\)

응용예제5

그림과 같이 \(\overline{\rm{AB}}=1\), \(\angle\rm{B}=\frac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(\rm{ABC}\)에서 \(\angle\rm{C}\)를 이등분하는 직선과 선분 \(\rm{AB}\)의 교점을 \(\rm{D}\), 중심이 \(\rm{A}\)이고 반지름의 길이가 \(\overline{\rm{AD}}\)인 원과 선분 \(\rm{AC}\)의 교점을 \(\rm{E}\)라 하자. \(\angle\rm{A}=\theta\;\)일 때, 부채꼴 \(\rm{ADE}\)의 넓이를 \(S(\theta)\), 삼각형 \(\rm{BCE}\)의 넓이를 \(T(\theta)\)라 하자. \(\displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{\{S(\theta)\}^2}{T(\theta)}\)의 값은? [4점] [2019학년도 수능 가형 18번]

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 마름모 \(\rm{ABCD}\)가 있다. 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm{AB}\)의 연장선에 내린 수선의 발을 \(\rm E\), 점 \(\rm E\)에서 선분 \(\rm{AC}\)에 내린 수선의 발을 \(\rm F\), 선분 \(\rm EF\)와 선분 \(\rm{BC}\)의 교점을 \(\rm G\)라 하자. \(\angle\rm{DAB}=\theta\)일 때, 삼각형 \(\rm{CFG}\)의 넓이를 \(S(\theta)\)라 하자.

\(\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{S(\theta)}{\theta^5}\)의 값은? (단, \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)) [4점] [2018학년도 수능 가형 17번]

응용예제7

최고차항의 계수가 1이고 \(f(1)=0\)인 삼차함수 \(f(x)\)가

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-2)\left\{f'(x)\right\}^2}=\frac{1}{4}\)

을 만족시킬 때, \(f(x)\)의 값은? [4점] [2018학년도 수능 나형 18번]

응용예제8

네 실수 \(\alpha, \beta, \gamma\;(\alpha<\beta<\gamma), m\)에 대하여 삼차함수 \(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)와 일차함수 \(g(x)=x-m\)이 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) 다항식 \(f(x)\)를 다항식 \(g(x)\)로 나누었을 때 나누어떨어지지 않는다.

\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \lim_{x\to k} \frac{f(x)}{f(x-2)g(x)}\)의 값이 존재하지 않는 실수 \(k\)의 값은 1, 3뿐이다.

이때, \(f(2)+g(2)\)의 값은?

응용예제9

그림과 같이 곡선 \(y=\frac 12 x^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(\rm P\)에 대하여 원점을 지나고 \(y\)축 위의 점 \(\rm Q\)를 중심으로 하는 원 \(\rm O_1\)이 있다. 원 \(\rm O_1\)의 넓이를 \(S\)라고 할 때, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\{f(x)\}^2}{S}\)의 값을 구하고 그 풀이 과정을 논술하시오.