확률의 덧셈정리

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집합의 연산에서, 두 유한집합 \(A, B\)에 대하여 합집합(\(A \cup B\))의 원소의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\cdots (1)\)

이때, \(A\cap B=\emptyset\)이면, 즉 두 집합이 서로소이면, 다음과 같이 표현됩니다.

\(\quad\)\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)

한편, 일반적으로 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대되는 유한한 표본공간 \(S\)의 임의의 두 사건 \(A, B\)에 대하여 합사건 \(A \cup B\)의 원소의 개수는 위의 식 (1)과 동일합니다.

따라서 합사건 \(A \cup B\)가 일어날 확률은

\(\quad\)\(\begin{align}
P(A \cup B) & = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} \\
& = \frac{n(A)+n(B)-n(A\cap B)}{n(S)} \\
& = \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)} \\
& = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \\
\end{align}\)

이때, \(A\cap B=\emptyset\), 즉, 두 사건이 배반사건이면, 식 (2)에 따라, 다음과 같이 표현됩니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
P(A \cup B) & =  P(A) + P(B) \\
\end{align}\)

이 두 경우에 대해, 이것을 확률의 덧셈정리라고 합니다.

위의 두 경우를 제외하고, 배반사건이 아닌, 즉 곱사건의 확률이 존재하는 경우에 대해, 조건부확률과 확률의 곱셈정리가 나옵니다.

여사건의 확률

여사건은 원래 사건이 발생하지 않는 사건을 말합니다. 

예를 들어, 1에서 100까지의 자연수 중에서 5의 배수가 아닐 확률을 구하는 경우에서, 5의 배수가 아닌 것을 세는 것은 어렵지 않지만, 개수가 많기 때문에 귀찮습니다. 따라서, 전체 중에 5의 배수를 빼서, 확률을 구하는 것이 바람직합니다.

일반적으로 어떤 사건 \(A\)와 그 여사건 \(A^C\)은 항상 배반사건이고 두 사건의 합사건은 항상 표본공간이 됩니다.

\(\quad\)\(A \cup A^C = S\)

따라서, 확률의 덧셈정리에 의해,

\(\quad\)\(\begin{align}
P(S) & = P(A \cup A^C) \\
& = P(A) + P(A^C) \\
& = 1\\
\end{align}\)

이므로,

\(\quad\)\(P(A^C) = 1 - P(A)\)

응용예제

응용예제1

10개의 문자 ABCDEFFOOO를 일렬로 나열할 때, O끼리는 이웃하지 않을 확률을 구하시오.