항등식

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Main articles: Identity (mathematics) and Equating coefficients

항등식은 근본적으로 왼쪽 변과 오른쪽 변이 같은 식을 말합니다. 즉, 언제든지 왼쪽 식을 오른쪽 식으로 대체될 수 있습니다. 그 의미는 아래의 두 가지 정도로 생각해 볼 수 있습니다.

첫 번째 의미, 등식 내부의 특정한 변수가 실수(복소수로 확장가능)의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식입니다.

다음 표현은 첫 번째 의미를 표현하는 말들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 갖는다면 그 등식은 \(x)\)에 대한 항등식을 말합니다.

• 모든 \(x\)에 대하여 성립하다.
• 임의의 \(x\)에 대하여 성립한다.
• \(x\)값에 관계없이 성립한다.
• 어떤 \(x\)의 값을 대입해도 성립한다.

두 번째 의미, 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 다항식입니다.

이 의미는, 왼쪽 변과 오른쪽 변을 각각 단순화를 진행하면, 차수가 같음은 물론이고 각 차수의 계수들도 전부 같아야 항등식이 된다는 것입니다.

즉, 지금 배우고 있는 다항식의 사칙연산은 식이 변해가는 과정이므로, 전개를 하면 양쪽 변이 서로 같아지므로 전부 항등식으로 이해할 수 있습니다. 이후에 배우는 인수분해도 마찬가지로 항등식입니다.

유리식에서, 분모가 0되는 값이 있으면, 분모의 값이 영이 되는 경우를 제외라는 것처럼, 명시적으로 문장을 제공해야 합니다. 이 말은 다항식의 나눗셈에서 약분을 해서 분모가 변하고, 명시된 조건이 없으면, 항등식이라고 말할 수 없다는 것을 의미합니다.

예를 들어, 다음은 항등식이 아닌데, 모든 x에 대해 식을 만족하지 않기 때문으로써, 비록 그 값이 1개인 경우에도 마찬가지입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x-3\)

그러므로, x ≠ 2 또는 분모가 영이 아님 등의 조건이 있을 때 항등식이 됩니다.

나중에 함수에서, 서로 같은 함수를 찾을 때 이런 이유가 첫 번째 조건으로 소개됩니다.

반면에 방정식은 특수한 값에 대해서만 참이 되는 식을 말합니다. 그래서 어떤 값이 참이 되는지 찾는 것을 방정식을 푼다라고 하고, 그 값을 해라고 합니다.

미정계수법

항등식 문제는, 미지수 x의 값을 구하는 방정식과는 다르게, 항등식이 되도록 계수를 정하는 경우가 많습니다.

이때 사용되는 두 가지 방법이 계수비교법, 수치대입법입니다.

계수비교법은, 항등식의 두 번째 의미에 따라, 양쪽 변의 동류항끼리의 계수가 같음을 이용해서 풉니다.

반면에 수치대입법은, 항등식의 첫 번째 의미에 따라, 항등식으로 주어진 문자에 적당한 값을 대입해서 나오는 식을 이용해서 풉니다.

예를 들어, 주어진 식이 x에 대한 항등식이 되도록 a, b를 구하시오.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{a}{x+1}-\frac{b}{x+2} \)

보통은 오른쪽 변을 통분해서 분모가 같아지면, 분자가 같아야 한다는 방식으로 문제를 풉니다. 그러나 이런 접근은 식을 더 복잡하게 만드는 것이 단점입니다.

반면에 식을 간단하게 하기 위해서 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 주는 것이 좋습니다.

분모의 최소공배수 \( (x+1)(x+2) \)를 양쪽 변에 곱해서 식을 만듭니다:

\(\quad\)\( 1 = a(x+2) - b(x+1) \)

(1) 계수비교법 : 다항식이므로 양쪽 변을 전개해서 계수가 서로 같아야 함을 이용합니다.

\(\quad\)\( 1 = ax+2a - bx-b \)

\(\quad\)\( 1 = (a-b)x + (2a-b) \)

오른쪽 변의 1차 항에 대해 왼쪽 변은 1차 항이 없으므로, 그 계수가 0이어야 하고, 오른쪽 변의 상수항이 1이므로, 왼쪽 변의 상수항이 1이어야 합니다.

\(\quad\)\( (a-b)=0,\;(2a-b)=1 \)

이 두식을 연립해서 풀면, 다음 결과를 얻습니다:

\(\quad\)\( a=1,\;b=1 \)

(2) 수치대입법 : 미지수에 특정한 값을 대입해서 구하는 방법입니다. 이때, 어떤 문자에 대한 항등식인지 인식해서 해당 문자에 원하는 값을 대입해야 합니다.

\(\quad\)\( 1 = a(x+2) - b(x+1) \)

위 식에 \(x=-2\)를 대입하는데, 왜냐하면 문자 \(a\)를 없애고 문자 \(b\)만 남기기 때문입니다:

\(\quad\)\( b=1 \)

같은 이유로 \(x=-1\)을 대입해서 \(a\)를 구합니다:

\(\quad\)\( a=1 \)

위의 어떤 방법을 이용하더라도 다음 결과를 가집니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \)

일반적으로 수식을 정리해야 계수를 비교할 수 있는 계수비교법보다는 수치대입법이 자주 사용됩니다.

수치대입법에서, 주로 구하려는 미지수와 곱해진 부분을 0으로 만들 수 있는 값을 우선적으로 대입을 합니다.

그런 경우가 아니더라도 x에 대한 항등식일 때 x = 0을 대입하는 것은 언제나 값을 쉽게 계산할 수 있습니다.

그 외에는 x = 1이 많이 이용되며, x = –1은 많이 이용되지만 차수가 홀수인 경우에는 부호가 바뀌는 것을 잊어서는 안 됩니다.

나눗셈과 항등식

다항식 \(A\)의 차수가 \(B\)의 차수보다 같거나 클 경우에, \(A\)를 다항식 \(B\;(B \neq 0)\)로 나눌 때 몫을 \(Q\), 나머지를 \(R\)라 하면 다음이 성립합니다:

\(\quad\)\(A=BQ+R\) (단, \(R\)의 차수 < \(B\)의 차수)

다항식의 나눗셈 과정도 항등식이기 때문에 몫과 나머지를 구할 때, 항등식의 성질을 이용합니다. 다항식에서 항등식은 오른쪽 변과 왼쪽 변의 차수가 같아야 하기 때문에, \(A\)의 차수\(=B\)의 차수 \(+Q\)의 차수입니다.

응용예제

응용예제1

예를 들어, \(x^3+x^2+1\)을 \(x^2+x-2\)로 나누었을 때, 몫과 나머지를 보십시오.

삼차식을 이차식으로 나눈 몫은 일차식입니다. 또한 최고차항의 계수는 1 이기 때문에 몫은 \(Q(x)=x+a\)로 놓을 수 있고, 나머지는 나누는 식이 이차식이기 때문에 일차식으로 놓을 수 있습니다. 정리해서 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(x^3+x^2+1=(x^2+x-2)(x+a)+(px+q)\)

이식을 전개해서 계수 비교를 수행해도 되지만, 여기서는 나누는 식이 인수분해가 가능하기 때문에 아래와 같이 생각해서 푸는 것이 좀 더 쉽습니다.

\(\quad\)\(x^3+x^2+1=(x-1)(x+2)(x+a)+(px+q)\cdots(1)\)

이제, \(x\)에 \(1,\;-2\)를 대입해서 \(p,\;q\)를 구한 후에 \(x=0\)을 대입해서 \(a\)를 구할 수 있습니다.

다른 생각) 식 (1)처럼, 일반적인 형태의 나머지를 정의하면, 숫자를 대입한 후에, 필연적으로 연립방정식을 푸는 과정이 필요합니다.

만약, 나누는 식이 인수분해가 되면, 다음처럼, 식을 세우는 것이 연립방정식을 피하는 하나의 방법입니다.

\(\quad\)\(x^3+x^2+1=(x-1)(x+2)(x+a)+p_1(x-1)+q_1\cdots(2)\)

또는

\(\quad\)\(x^3+x^2+1=(x-1)(x+2)(x+a)+p_2(x+2)+q_2\cdots(3)\)

응용예제2

모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(\left(1-2x+x^2\right)^{50} = a_0+a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_{100}x^{100}\)

이 항상 성립할 때, \(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{99}\)의 값을 구하여라.

응용예제3

모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(x^{100}-1 = a_0+a_1 (x-1) +a_2 (x-1)^2 + \cdots + a_{100}(x-1)^{100}\)

이 항상 성립할 때, \(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{99}\)의 값을 구하여라.

응용예제4

상수 \(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{10}\)에 대해 다음 등식

\(\quad\)\(\left(x^2+x+1\right)^5 = a_0+a_1 x +a_2 x^2+\cdots + a_{10}x^{10}\)

은 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a_0+a_3+a_6+a_9\)의 값은?

응용예제5

다항식 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(f\left(x^2-1\right)-f\left(x^2+1\right)=k x f(x)-12x-8\)

을 만족시킬 때, \(f(k)\)의 값을 구하면, (단, \(k\)는 영이 아닌 실수)

응용문제6

모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\(x^{10}+1 = a_{10}(x+2)^{10}+a_9 (x+2)^9+\cdots+a_1 (x+2)+a_0\)

가 성립할 때, \(a_9+a_7+a_5+a_3+a_1\)의 값은?

응용예제7

\(x\)에 대한 항등식

\(\quad\)\(\left\{x(x+1)\right\}^{10}+3 = a_0+a_1 x +a_2 x^2+\cdots+a_{20}x^{20}\)

에서 \(10a_0+a_{11}+a_{13}+a_{15}+a_{17}+a_{19}\)의 값을 구하시오.

응용예제8

모든 실수 \(x\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음을 만족할 때,

\(\quad\)\(2f(1-x)+f(x)=\frac{1}{2} x^2 \)

구간 \(0 \le x \le 3\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은?

응용예제9

다항식 \(f(x)=x^3+9x^2+4x-45\)에 대하여 다음 등식

\(\quad\)\(f(x+a) = x^3+bx-3 \)

이 \(x\)의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때, 두 상수 \(a,b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

응용예제10

임의의 실수 \(x\)에 대하여 다항식 \(f(x)\)가 다음 등식

\(\quad\)\(f\left(x^2+2x\right) = x^2f(x)+8x+8\)

을 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

응용예제11

최고차항의 계수가 1인 다항식 \(P(x)\)는 \(x\)에 대하여 \(8xP(x-1)=(x-1)P(2x)\)를 항상 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

\(\quad\)(1) \(P(1)\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)(2) 다항식 \(P(x)+k\)가 \(x+3\)을 인수로 가질 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.