곡선의 오목과 볼록

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See also: concave function and convex function

지금까지 다루어온 대부분은 함수, 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수는 주어진 주어진 구간에서 미분가능하면, 도함수로써 극대와 극소를 판정할 수 있었습니다. 

극대와 극소는 그래프의 개형에서는 극대를 중심으로 그 근방에서는 최댓값(지역적 최댓값)을 가진다는 의미입니다. 즉, 우리 동네의 제일 높은 산과 같은 의미입니다. 반대로 극소는 우리 동네의 제일 낮은 골짜기 정도로 이해할 수 있겠습니다.

도함수의 도함수를 의미하는 이계도함수는, 그의 첫 번째 용도로써, 도함수가 0이 되고 이계도함수가 양수이면, 그 지점에서 극소임을 알 수 있는 극대 극소의 판정에 이용하는 것을 배웠습니다.

만약 주어진 구간에서 미분가능한 함수의 그래프가 극대에서 극소로 바뀌면, 극대에서 이계도함수가 음수이고, 극소에서 양수이기 때문에, 사잇값 정리에 의해 극대와 극소 사이에서 이계도함수가 0이 되는 지점이 반드시 하나 이상 존재해야 합니다.

게다가, 극대는 위로 볼록한 모양이고, 극소는 위로 오목한 모양이므로, 그 중간에서 오목과 볼록이 바뀝니다.

따라서, 주어진 구간에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x)\)가

• \(f''(x) > 0\)이면 곡선 \(y=f(x)\)는 이 구간에서 위로 오목(아래로 볼록)한 모양입니다.
• \(f''(x) < 0\)이면 곡선 \(y=f(x)\)는 이 구간에서 위로 볼록(아래로 오목)한 모양입니다.

그리고, 오목과 볼록이 바뀌는 지점은 \(f''(a)=0\)이면서, 그 점의 왼쪽과 오른쪽에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌어야 하는데, 이 점 \((a, f(a))\)를 \(y=f(x)\)의 변곡점이라고 부릅니다.

변곡점은 그의 왼쪽과 오른쪽에서 이계도함수의 부호가 바뀌어야 하는데, 극값을 가질 때와 동일한 의미에서 그렇습니다. 극값에서도 도함수가 0이지만, 그 점의 왼쪽과 오른쪽에서 도함수의 부호가 같으면, 극값을 가지지 않는 것처럼, 이계도함수가 0이지만, 그의 왼쪽과 오른쪽에서 이계도함수의 부호가 같으면, 변곡점이 아닙니다.

우리는 산과 골짜기가 연결되어 있으면, 어디까지가 산이고 어디서부터 골짜기인지 궁금할 수 있습니다. 그때, 사용하는 것이 변곡점입니다. 볼록이 끝나고 오목이 시작되는 점, 변곡점!!

특히 삼차함수는 변곡점을 기준으로 점대칭입니다.

보통 고등학교 교과과정에서, 연속적으로 미분이 가능한 함수를 다루지만, 변곡점은 그 점에서 반드시 이계도함수를 가질 필요는 없습니다. 예를 들어, 구간별로 정의된 함수는 두 함수가 만나는 점에서 연속이지만, 이계도함수를 가지지 않을 수 있습니다. 이런 경우에서, 변곡점은 마찬가지로 꺾인 점 좌우에서 이계도함수의 부호가 바뀌면 변곡점으로 인정됩니다. Inflection point를 참고하십시오.

응용예제

응용예제1

곡선 \(y=ax^2-2\sin 2x\)가 변곡점을 갖도록 하는 정수 \(a\)의 개수는? [3점] [2020학년도 수능 가형 11번]