계차수열

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See also: Recurrence relation

수학에서, 수열의 계차수열은 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차이로 이루어지는 수열을 말합니다. 예를 들어 수열

\(\quad\)\(1, 4, 9, 16, \cdots, n^2, \cdots\)

의 계차수열은 그의 계수의 차이: \(4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, \cdots, (n+1)^2-n^2=2n+1,\cdots\)에 의해 다음과 같이 쓰일 수 있습니다:

\(\quad\)\(3,5,7, \cdots, 2n+1, \cdots\)

그래서 수열 \(\{a_n\}\)의 계차수열의 일반항은 \(a_{n+1}-a_n\)로 쓰입니다.

Relationship to difference equations narrowly defined

실수의 순서화 수열(sequence) \(\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\)이 주어지면: 일차 차이(first difference) \(\Delta(a_n)\)는 다음으로 정의됩니다:

\(\quad\)\(\Delta(a_n) = a_{n+1} - a_n\)

이차 차이(second difference) \(\Delta^2(a_n)\)는 다음으로 정의됩니다:

\(\quad\)\(\Delta^2(a_n) = \Delta(a_{n+1}) - \Delta(a_n)\),

이것은 다음으로 간단히 될 수 있습니다:

\(\quad\)\(\Delta^2(a_n) = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n\)

보다 일반적으로: \(\Delta^k(a_n)\)으로 쓰이는 수열 \(a_n\)의 \(k^차 차이\)는 다음으로 재귀적으로 정의됩니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \Delta^k(a_n) = \Delta^{k-1}(a_{n+1}) - \Delta^{k-1}(a_n)=\sum_{t=0}^k \binom{k}{t} (-1)^t a_{n+k-t}\)

(수열과 그의 차이는 이항 변환(binomial transform)에 의해 관계됩니다.) 차이 방정식(difference equation)의 보다 제한적인 정의는 \(a_n\)과 \(k^차 차이\)로 구성된 방정식입니다. (널리 사용되는 더 넓은 정의는 "차이 방정식"을 "재귀 관계"와 동의어로 취급합니다. 예를 들어 유리수 차이 방정식(rational difference equation) 그리고 행렬 차이 방정식(matrix difference equation)을 참조하십시오.)

계차수열의 일반항

수열 \(\{a_n\}\)의 계차수열을 \(\{b_n\}\)이라고 놓습니다. 두 수열 사이의 관계는 다음으로 알 수 있습니다.

\(\quad\)\(\{a_n\} \;:\; a_1,\quad a_2,\quad a_3,\quad a_4,\quad a_5, \cdots\)

\(\quad\)\(\{b_n\} \;:\;\;\;\;\;\;\; b_1,\quad b_2,\quad b_3,\quad b_4, \cdots\)

여기에서 원래 수열의 항을 구하는 것을 고려한다면, 정의로부터 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_2 = a_1 + b_1\)

\(\quad\)\(a_3 = a_2 + b_2 = a_1 + (b_1 + b_2)\)

\(\quad\)\(a_4 = a_3 + b_3 = a_1 + (b_1 + b_2 + b_3)\)

이와 같은 방식으로 추론해 볼 때 다음과 같은 결론에 이를 수 있습니다:

만약 \(n\geq2 \)이면, \(a_n = a_1 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_{n-1})\)입니다.

이 식을 시그마 기호를 이용해서 나타내면 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k\)

이런 관계식은 원래 수열로부터 계차수열은 쉽게 구할 수 있기 때문에, 계차수열의 일반항으로부터 원래 수열의 일반항을 구하는 것이 좀 더 어렵습니다. 그렇기 때문에 계차수열의 합이 구해질 수 있어야 원래 수열의 일반항을 구할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1=1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(a_k-a_{k+1}\right)=-n^2+n\)

을 만족시킨다. \(a_{11}\)의 값은? [3점] [2021학년도 수능 나형 12번]