선분의 내분점과 외분점(공간좌표)

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이-차원 평면에 놓여 있는 두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2)\)를 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\) \((m>0,n>0)\)으로 내분하는 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)는 \(x\)-축에 수선의 발을 내린 각각의 점 \(\mathrm{A_1}(x_1,0)\), \(\mathrm{B_1}(y_1,0)\), \(\mathrm{P_1}(x,0)\)에 대해 기하학적 상황은 바뀌지 않습니다. 

그러므로, 수선의 발을 내린 점들에 대해 내분점은 수직선 위의 내분점으로 그의 개념이 줄어듭니다.

또한, 수선의 발을 \(y\)-축으로 내리면, 같은 기하학적 상황에서, 좌표가 \(x\)에서 \(y\)-좌표로 바뀔 뿐입니다. 

한편, 이런 상황은 평면에서 하나의 차원을 증가한 삼-차원 공간에 대해 여전히 유지됩니다.

즉, 공간에 놓여있는 두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)\)를 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\) \((m>0,n>0)\)으로 내분하는 점 \(\mathrm{P}(x,y,z)\)는 각각의 축에 수선의 발을 내린 점에 대해 수직선 위의 내분점을 구하는 것과 동일합니다.

단지, 세 축이 존재하므로, 내분점을 구하는 식을 세번 계산할 뿐입니다.

따라서, 그의 내분점은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)\)

게다가, 외분점 역시 내분점과 같은 개념으로 이해될 수 있습니다.

따라서, 외분점은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}, \frac{mz_2-nz_1}{m-n}\right)\)

여기서 \(m \neq n\)이 만족해야 하는데, \(m=n\)인 외분점은 기하학적으로 존재할 수 없습니다.

두 점의 중점은 \(1:1\)로 내분하는 점과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2}, \frac{z_2+z_1}{2}\right)\)

삼각형의 무게중심

이-차원 평면에서 삼각형의 무게중심과 삼-차원 공간에서 삼각형의 무게중심은 그의 기하학적 상황이 달라지지는 않습니다. 단지, 삼각형을 구성하는 꼭짓점의 좌표가 평면에서는 2개의 순서쌍인데 비해서 공간에서는 3개의 순서쌍으로 이루어지는 것만이 다릅니다.

따라서, 세 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)\), \(\mathrm{C}(x_3,y_3,z_3)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 무게중심의 좌표 \(\mathrm{G}(x,y,z)\)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)\)