수열

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Main article: Sequence

수열 또는 열(sequence)은 수 또는 다른 대상의 순서 있는 나열입니다. 수열은 나열 순서를 생각해야 하고, 중복이 허용된다는 점에서, 고등학교에서 배우는 집합과 구분됩니다. 그러나, 집합에 같은 원소를 허용하는 중복집합도 있기 때문에, 반드시 맞는 표현은 아닙니다.

수의 나열에는, 이해가 잘되던 그렇지 않던, 규칙성이 있어야 합니다. 그렇지 않을 때에는 다음 숫자를 추측할 수 없기 때문에 유용하지 않습니다.

정의

수열의 항

수열을 이루는 구성원을 수열의 항(term) 또는 원소(element)라고 합니다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 함수열, 집합열 등으로 나눌 수 있습니다. 수의 나열 위치에 따라 다음과 같이 부릅니다.

\(\quad\)첫째항, 둘째항, 셋째항, 넷째항, \(\ldots\)

\(\quad\)제1항, 제2항, 제3항, 제4항, \(\ldots\)

첫째항(first term)은 첫항, 또는 초항이라고도 부릅니다.

수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 길이(length)라고 합니다. 수열의 길이가 유한하면 유한수열(finite sequence), 무한하면 무한수열(infinite sequence)이라고 부릅니다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 끝항(final term) 또는 마지막항, 말항이라고 부릅니다.

일반항은 위치를 특정되지 않은 제\(n\)항(nth term)을 부르는 말입니다. 많은 경우에 \(n\)과 제\(n\)항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능합니다.

일반항이 수식으로 표현이 가능하면, 일반항으로부터 몇 번째 위치한 항을 바로 구할 수 있습니다.

수열의 표현

수열은 표현법은 원소를 순서대로 나열하는 방법을 자주 이용합니다. 예를 들어, 자연수의 홀수는 다음과 같이 표현 가능합니다. 이때 괄호를 넣어서 표현하기도 합니다.

\(\quad\)\(1,\ 3,\ 5,\ \ldots\)

\(\quad\)\(\{1,\ 3,\ 5,\ \ldots\}\)

\(\quad\)\((1,\ 3,\ 5,\ \ldots)\)

구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots\)

\(\quad\)\(\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots\}\)

\(\quad\)\((a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots)\)

이때, 수열의 일반항은 \(a_n\)이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 조건제시법과 유사하게) \(\{a_n\}\) 또는 \((a_n)\)으로 표현할 수 있습니다.

첨자의 범위를 명시하기 위해 \(\{a_n\}_{n \in \mathbb N}\) 또는 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) 등으로 표현하기도 합니다.

일반항이 수식 표현 가능한 수열, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 \(\{2n - 1\}\)과 같이도 표현합니다. 일반항에 관한 수식표현으로 수열을 확정할 수 있기 때문에, 예를 들어 홀수열에 대한 수식 \(a_n = 2n - 1\) 등, 수식 자체를 수열의 표기로 삼기도 합니다.

함수로서의 정의

수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 \(n\)개의 집합을 정의역으로 하는 함수 \(n \mapsto a_n\)으로 정의됩니다. 즉, 각 자연수 \(n\)의 함숫값을 수열의 제\(n\)항 \(a_n\)으로 정의한 함수입니다. 

예를 들면, 수열 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...은 곧 함수 \(\displaystyle f : \mathbb N \to \mathbb R,\ n \mapsto \frac{1}{n}\)와 같습니다. 수식으로는 \(f(n)=\frac{1}{n}\;(n\in \mathbb N)\)으로 표기하기도 합니다.

귀납적으로 정의된 수열

귀납적 정의법은 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 수열을 정의하는 방식입니다.

일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 \(a_n\)과 \(n\) 사이의 관계(\(a_n - n\) 관계)를 사용한다면, 귀납적 정의법은 임의의 \(a_n\)과 그 전의 값들인 \(a_1\)부터 \(a_{n-1}\)까지의 항들 사이의 관계를 사용합니다. 

일부 수열에서는, 귀납적 정의를 사용하는 것이 일반항으로 정의하는 것보다 더 간명하고 이해하기가 쉽습니다.

대표적으로 피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의의 유용성을 보여주는 전형적인 예입니다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항부터는 앞의 두 항을 더한 합을 바로 다음항으로 정의합니다.

\(\quad\)\(a_1 = a_2 = 1\)

\(\quad\)\(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\)

상대적으로 피보나치 수열의 일반항 공식은 더 복잡하고 이해하기 어렵게 느껴지며, 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\,\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right)\)

수열의 예제

다음은 여러 가지 수열에 대한 예제입니다.

• \(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...\): 각 항 사이의 차이가 일정한 등차수열.
• \(3, 9, 27, 81, 243, ...\): 각 항 사이의 비가 일정한 등비수열.
• \(2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\): 소수의 작은 순서대로 정의되는 수열.
• \(7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...\): \(7^n\)의 일의 자리의 숫자로 정의되는 수열.
• \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...\): \(2^n\)인 수열.
• \(0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ...\): \(n(n-1)(n-2)(n-3)\)으로 정의되는 수열.
• \(9, 99, 999, 9999, ...\): \(10^n-1\)인 수열.
• \(1, -1, 1, -1, 1, -1, ...\): \((-1)^{n+1}\)인 수열.
• \(-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...\): \((-1)^{n}\)인 수열. 

어떤 수열을 소개하기 위해, 일반항의 표시 없이 숫자를 나열할 경우에는 반드시 특정 수열을 표현한다고 말할 수 없습니다. 따라서, 수열을 나타낼 때, 숫자를 나열할 때에는 수열의 특징을 문구로 표현하던지, 또는, 숫자의 나열 중에 일반항을 표시해야 합니다.

응용문제

응용문제1

점 \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},0\right)\)에서 곡선 \(y=\sin x\;(x>0)\)에 접선을 그어 접점의 \(x\)좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2019학년도 수능 가형 20번]

\(\quad\)ㄱ. \(\tan a_n = a_n + \frac{\pi}{2}\)

\(\quad\)ㄴ. \(\tan a_{n+2} - \tan a_n > 2\pi\)

\(\quad\)ㄷ. \(a_{n+1} + a_{n+2} > a_{n} + a_{n+3}\)

응용예제2

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1=2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여

\(\quad\)\(a_{n+1}=\left\{
\begin{align}
& \frac{a_n}{2-3a_n}& & (n \in odd) \\
& 1+a_n & & ( n \in even) \\
\end{align}\right.\)

를 만족시킨다. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{40} a_n\)의 값은? [3점] [2019학년도 수능 나형 13번]

응용예제3

\(2L\)들이 세 개의 물통 \(A,B,C\)에 물이 각각 \(1L,2L,2L\)가 들어있다. 첫 번째 시행에서 \(A\)와 \(B\)의 물을 서로 교환하여 \(A\)와 \(B\)를 같은 양으로 만든다. 두 번째 시행에서는 \(B\)와 \(C\)를 서로 교환하여 같은 양으로 만든다. 세 번째 시행에서는 \(C\)와 \(A\)를 서로 교환하여 같은 양으로 만든다. 네 번째 시행에서는 다시 \(A\)와 \(B\)의 물을 서로 교환하여 같은 양으로 만든다. 이와 같은 조작을 반복할 때, 10번째의 물의 교환에 관여하지 않았던 물통의 물의 양은?

응용예제4

자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y=nx^2\)과 직선 \(y=x+n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(\rm A_n, \rm B_n\)이라 하자. 선분 \(\overline{\rm A_n, \rm B_n}\)을 지름으로 하는 원이 곡선 \(y=nx^2\)과 만나는 점 중 두 점 \(\rm A_n, \rm B_n\)이 아니고 \(x\)-좌표가 0이상인 점을 \(\rm C_n\)이라고 하자. 점 \(\rm C_n\)의 \(x\)-좌표를 \(a_n\)이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. 
(1) \(x^2\left(a_n\right)^2+n a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오.
(2) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{x^2\left(a_n\right)^2+n a_n+n+1}\)의 값을 구하시오.