여러 가지 함수의 정적분

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Main article: Integral

정적분의 성질에서, 정적분의 아래끝과 위끝이 같으면, 하나의 정적분으로 만들 수 있음을 알아보았습니다.

이 기사는 몇 가지 특이한 함수들은 정적분의 결과가 좀 더 간단한 형태로 바꿀 수 있는 것이 있습니다.

짝수함수와 홀수함수의 정적분

함수의 대칭성에서 언급한 것처럼, \(y\)-축 대칭인 함수는 짝수함수, 원점 대칭인 함수는 홀수함수라고 합니다.

정적분은 부호화된 넓이로 생각할 수 있으므로, 짝수함수에 대해, \(y\)-축으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점 사이의 정적분은 \(y\)-축으로부터 한쪽 끝점까지의 정적분의 2배와 같습니다. 즉, \(y=f(x)\)의 그래프는 \(y\)-축 대칭이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)dx = \int_{0}^a f(x)dx\)

그리고 정적분의 연결 성질에 따라,

\(\quad\)\(\begin{align}
\int_{-a}^a f(x)dx & =\int_{-a}^0 f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx \\
& = 2\int_{-a}^0 f(x)dx \\
& = 2\int_{0}^a f(x)dx  \\
\end{align}\)

조심해야 할 것은 다음입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{0}^{-a} f(x)dx \neq \int_{0}^a f(x)dx\)

이 결과가 서로 같지 않은 것은 쉽게 알 수 있습니다. 구분구적법에서 왼쪽의 \(n\) 개의 좌표, 또는 오른쪽 \(n\) 개의 좌표를 사용하던, 그의 함숫값은 서로 같습니다. 그러나, \(0\)에서 \(-a\)까지 정적분은 무한소 \(dx\)를 음수로 바꿉니다. 따라서, 왼쪽 변과 오른쪽 변은 절댓값은 같지만 서로 부호가 반대입니다.

홀수함수에 대해, \(y\)-축으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점 사이의 정적분은 항상 0입니다. 즉, \(y=f(x)\)의 그래프는 원점 대칭이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)dx = -\int_{0}^a f(x)dx\)

그리고 정적분의 연결 성질에 따라,

\(\quad\)\(\begin{align}
\int_{-a}^a f(x)dx & =\int_{-a}^0 f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx \\
& = 0 \\
\end{align}\)

위와 같은 홀수함수와 짝수함수의 정적분은 적분 구간이 \(y\)-축으로부터 왼쪽과 오른쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 있을 때 사용할 수 있습니다.

적분 구간이 \(y\)-축으로부터 왼쪽과 오른쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 때에는, 예를 들어, 짝수함수에 대해, 위의 성질을 응용해서,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{-1}^2 f(x)dx= 2\int_0^1 f(x)dx+\int_1^2 f(x)dx\)

홀수함수에 대해,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_{-1}^2 g(x)dx = \int_1^2 g(x)dx\)

주기함수의 정적분

만약 함수 \(f(x)\)가 주기 \(P(\neq 0)\)를 갖는 함수이면, \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 그리고 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 

\(\quad\)\(f(x+nP)=f(x)\).

따라서, 다음 2가지 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_{a+mP}^{b+mP} f(x)dx\)

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^{a+mP} f(x)dx = m\int_0^P f(x)dx\)

여기서 \(m\)은 정수입니다.