일차방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/일차방정식

Main article: Linear equation

방정식은 식에 있는 특정한 문자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식을 말합니다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을 해 또는 근이라고 합니다.

방정식의 해는 해당 방정식의 차수만큼 나오는 것이 일반적입니다. 예를 들어 이차방정식의 해는 2개이고, \(n\)차 방정식의 해는 \(n\)개입니다.

이전과정에서 이차방정식 해의 개수가 \(2,1,0\)로 변했던 이유는 해를 실수범위에서만 찾았기 때문입니다. 복소수를 배운 후에는 해의 개수는 변하지 않고, 어떤 해를 가지는 것에 대해 논의를 합니다.

그럼 방정식의 해가 무수히 많거나(부정), 해가 없는 경우(불능)가 있다고 하는데 그건 무슨 말인가요? 이것은 방정식의 계수들이 문자로 주어진 경우에 발생합니다.

숫자로 주어질 때에는 절대 발생하지 않습니다. 미지수 \(x\)에 대하여 \(0x^2+3x+3=0\)의 해를 구하여라. 물론, 계수에 \(0\)을 적어서 문제를 만들지는 않습니다.

수학에서는 문제의 조건을 반드시 확인해야 합니다. 아래의 예를 보겠습니다.

경우1) 계수가 실수인 \(x\)에 대한 일차방정식 \(ax+b=0\)의 해를 구하여라.

이 문제는 일차방정식이라고 명명했기 때문에 일차항이 없어지면 문제에 위배됩니다. 그러므로 \(a\neq 0\)이라는 조건을 준 것과 같은 효과가 있습니다. 그러므로 곱셈에 대한 역원이 항상 존재하기 때문에 \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\)로 유일하게 결정됩니다.

경우2) 계수가 실수인 \(x\)에 대한 방정식 \(ax+b=0\)의 해를 구하여라.

이 문제는 방정식이란 용어를 사용했기 때문에 가능한 모든 경우에 대해서 해를 구해야 합니다. 즉, 아래와 같이 모든 경우를 다 적어야 정답이 됩니다.

• \(a\neq 0\)이면 \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\)
• \(a=0, b\neq 0\)이면 해가 없음 (또는 불능)
• \(a=0, b= 0\)이면 해가 무수히 많음 (또는 부정)

시험에서는 주로 불능, 부정과 관련된 것을 물어보니, 형태를 기억해 두어야 합니다.

\(\quad\)불능꼴 : \(0x=b\;\;(b\neq 0)\)

\(\quad\)부정꼴 : \(0x=0\)

여기서 불능은 "풀 수 없다"는 의미를 가지는 것으로써, 예를 들어 \(0x=3\)와 같은 방정식에 어떤 값을 대입하더라도 오른쪽의 3을 만들 수 없습니다.

반면에 부정은 "해가 많아서 정할 수 없다"는 의미를 가지는 것으로써, \(0x=0\)에 임의의 값을 대입하더라도 항상 성립하기 때문에 특정한 값을 정할 수 없습니다.

기본예제

기본예제1

\(x\)에 대한 방정식 \(\left(a^2-5a-6\right)x=a+1\)의 근이 존재하지 않을 때, 상수 \(a\)의 값을 구하여라.

해설) 불능꼴을 기억하신다면 쉽게 해결이 됩니다. 일차항 \(x\)의 계수는 \(0\)이어야 하며, 우변의 상수항은 \(0\)이 되어서는 안 됩니다.

\(\quad\)\(\left(a^2-5a-6\right)=0, a+1\neq 0\)

\(\quad\)\(\therefore a=6\)