위치벡터

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Main article: Position (geometry)

벡터의 뜻에서, 벡터는 크기와 방향을 가진, 예를 들어, 동쪽으로 80km/h로 날아가는 비행기와 같은 것을 나타내지만, 측정하는 사람의 위치에 따라, 벡터는 조금 다르게 보일 수 있습니다. 비록 같은 비행기를 바라보더라도, 서울에서 바라본 비행기와 대전에서 바라본 비행기는 그 방향과 크기를 다르게 보이므로, 나타내는 방식도 달라져야 할 것입니다.

자유 벡터는 크기와 방향이 같으면 모두 같은 벡터로 여기지만, 고정된 시작점과 끝점을 갖는 벡터는 유일하게 하나만 정의되며, 이것을 경계 벡터(bound vector) 또는 위치 벡터(located vector)라고 부릅니다.

고정된 원점 \(\mathrm{O}\)를 시작점으로 하고 고정된 점 \(\mathrm{A}\)를 끝점으로 하는 벡터는 \(\vec{\mathrm{OA}}\)로 표시할 수 있습니다. 

만약 고정된 끝점이 점 \(\mathrm{B}\)로 바뀌면, \(\vec{\mathrm{OB}}\)로 나타낼 수 있습니다.

이와 같이 시작점 \(\mathrm{O}\)를 고정하면, 평면 위의 모든 점은 하나의 벡터와 일대일대응 관계를 가집니다. 이때, 고정된 점 \(\mathrm{O}\)를 시작점으로 하는 벡터 \(\vec{\mathrm{OA}}\)를 점 \(\mathrm{A}\)의 위치벡터라고 부를 수 있습니다.

두 점 \(\mathrm{A,B}\)에 대해, 그들의 위치벡터를 각각, \(\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a}\), \(\vec{\mathrm{OB}}=\vec{b}\)로 나타내면, 점 \(\mathrm{A}\)를 시작점으로 하고, 점 \(\mathrm{B}\)를 끝점으로 하는 벡터는 \(\vec{\mathrm{AB}}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}\)

이런 것을 공식으로 외울 필요는 없습니다. 임의의 벡터는 시작점으로부터 끝점으로 갈 때, 중간에 몇 개의 점을 거쳐서 지나가더라도, 벡터의 덧셈에 의해, 항상 같은 벡터가 됩니다.

따라서, 원점에 대한 위치벡터가 정의되어 있을 때,

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{\mathrm{AB}} & = \vec{\mathrm{AO}} + \vec{\mathrm{OB}} \\
& = -\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}} \\
& = \vec{b}-\vec{a}
\end{align}\)

선분의 내분점과 외분점의 위치벡터

직교 좌표시스템에서, 내분점과 외분점을 구하는 식은 일차원의 수직선에서 구한 식 하나로 삼차원 공간까지 확장됩니다. 이 식은 벡터에서도, 수학적 대상이 바뀌기는 하지만, 동일하게 사용됩니다.

두 점 \(\mathrm{A,B}\)의 좌표를 각각 \(a,b\)라고 놓고, 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 점 \(\mathrm P(p)\)라고 하면,

\(\quad\)\(\displaystyle p=\frac{mb+na}{m+n}\cdots(1)\)

여기서, \(m,n\)은 양의 정수입니다.

한편, 점 \(\mathrm{A,B,P}\)의 위치벡터를, 각각, \(\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a}\), \(\vec{\mathrm{OB}}=\vec{b}\), \(\vec{\mathrm{OP}}=\vec{p}\)라고 놓으면,

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AP}}=\vec{p}-\vec{a}\), \(\vec{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}\)

또한, \(\displaystyle \vec{\mathrm{AP}}=\frac{m}{m+n}\vec{\mathrm{AB}}\)이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{p}-\vec{a} = \frac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})\)

정리하면

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{p} = \frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}\cdots(2)\)

식 (1), (2)는 수학적 대상이 좌표에서 벡터로 바뀐 것 외에는 여전히 같은 식입니다.

게다가, 비록 이차원 평면으로 확장되더라도, 내분점을 이루는 식 자체는 여전히 일차원에서와 같은 다음의 식을 이용합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{\mathrm{AP}}=\frac{m}{m+n}\vec{\mathrm{AB}}\)

따라서, 결과도 식 (2)와 같습니다.

이때, 점 \(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점이면 \(m=n\)이므로

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{a}}{2}\)

같은 방법으로 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 외분하는 점 \(\mathrm{Q}\)의 위치벡터 \(\vec{q}\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{q}= \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}\cdots(3)\)

여기서, \(m=n\)이면, 기하학적으로 좌표를 구할 수 없습니다.

내분점 또는 외분점 또는 그 외의 점의 위치

식 (1)은 선분 \(\mathrm{AB}\) 위에 점 \(\mathrm{P}\)가 위치함을 의미합니다. 여기서 \(m>0,n>0\)에 대해서 논의합니다.

이 식의 양쪽 변에 \(m+n\)을 곱해서 살펴보면,

\(\quad\)\((m+n)\vec{p}=m\vec{b}+n\vec{a}\)

예를 들어, \(\alpha\vec{x}=3\vec{b}+2\vec{a}\)를 생각해 보십시오.

벡터의 방향은 배수가 없으므로, 덧셈의 결과가 영벡터가 아니면, 즉시 그의 방향을 알 수 있습니다. 즉, 원점으로부터 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:2\)으로 내분하는 점으로 방향이 정해집니다.

이때, 크기는

• \(\alpha=5\)이면, 내분점 그 자체입니다.
• \(0 < \alpha < 5\)이면, 내분점에 이르지 못합니다. 즉, 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 내부에 끝점이 위치합니다.
• \(\alpha > 5\)이면, 내분점을 지나서 위치합니다. 즉, 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 외부에 끝점이 위치합니다.

만약, \(\alpha < 0\)가 되면, 원점에서 내분점으로 향하는 방향과 반대로 벡터의 끝점이 이르게 됩니다.

한편, 외분점에서도 마찬가지로 생각할 수 있지만, 부호 관계에 조금 조심해야 하는데, 왜냐하면, 원래 분모가 음수가 될 수 있기 때문입니다.

식 (3)의 양쪽 변에 \((m-n)\)을 곱해서 살펴보면,

\(\quad\)\((m-n)\vec{q}=m\vec{b}-n\vec{a}\)

예를 들어, \(\beta\vec{x}=3\vec{b}-2\vec{a}\)를 생각해 보십시오. 이때, \(m, n\)의 부호는 달라야 하고, 양수가 앞에 놓여야 합니다.

여기서, \((m-n)\)과 \(\beta\)의 부호가 같으면, \(\vec{x}\)의 끝점은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:2\)으로 외분하는 점의 방향으로 정해집니다. 만약 부호가 서로 반대이면, 그 반대의 방향으로 끝점이 놓입니다.

그리고, 그의 크기는

• \(|m-n| = |\beta|\)이면, 외분점까지 이르는 거리와 같습니다.
• \(|m-n| < |\beta|\)이면, 외분점까지 이르는 거리보다 작습니다.
• \(|m-n| > |\beta|\)이면, 외분점까지 이르는 거리보다 큽니다.

마지막으로, \(\gamma\vec{x}=-3\vec{b}-2\vec{a}\)는 양쪽 변에 –1을 곱해서, 내분점으로 생각할 수 있습니다.

삼각형의 무게중심의 위치벡터

이차원 평면에서, 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 식은 이미 배웠습니다.

세 점 \(\mathrm{A,B,C}\)의 위치벡터를, 각각, \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\)로 놓고, 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)의 위치벡터를 \(\vec{m}\)라고 할 때, \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의 무게중심 \(\mathrm{G}\)의 위치벡터 \(\vec{g}\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

증명: #선분의 내분점과 외분점의 위치벡터에 의해, 점 \(\mathrm{M}\)의 위치벡터 \(\vec{m}\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{m}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\cdots(1)\)

또한, \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의 무게중심 \(\mathrm{G}\)는 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)로부터의 중선 \(\mathrm{AM}\)을 2:1로 내분하는 점이므로, #선분의 내분점과 외분점의 위치벡터에 의해,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{g} = \frac{2 \cdot \vec{m} + 1 \cdot \vec{a}}{2+1} =\frac{2\vec{m}+\vec{a}}{3}\cdots(2)\)

식 (1)을 식 (2)에 대입하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
증명 끝.

그림이 마치 삼차원처럼 보이지만, 평면을 표현한 것이고, 삼차원에서도 축이 하나 더 증가되지만, 증명이 같습니다. 그리고, 어차피 벡터 식은 좌표 축의 방향에 따른 스칼라 식으로 풀어서 접근할 것이기 때문에, 이차원은 두 좌표를 구해야 하고, 삼차원은 세 좌표를 구해야 합니다. 이 결과가 [[삼각형의 무게중심]]에서 구한 식입니다.

무게중심의 의미로부터, 무게중심에서 각 꼭짓점에 이르는 벡터의 합은 \(\vec{0}\)입니다. 즉, \(\vec{\mathrm{GA}}+\vec{\mathrm{GB}}+\vec{\mathrm{GC}}=\vec{0}\).