수직선 위의 내분점과 외분점

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내분점과 외분점에서 일반적인 내용을 알아보았습니다. 이제 수직선위에서 좌표가 주어지는 경우에 외분점과 외분점을 어떻게 구할 것인지를 알아보겠습니다.

내분점

수직선 위의 두 점 \(\mathrm{A}(x_1), \mathrm B(x_2)\) (단, \(x_1<x_2\))를 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\; (m>0,n>0)\)으로 내분하는 점 \(\mathrm P\)의 좌표는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AP:BP}=m:n\)

\(\quad\)\((x-x_1):(x_2-x)=m:n\)

\(\quad\)\(m(x_2-x)=n(x-x_1)\)

\(\quad\)\((m+n)x=mx_2+nx_1\)

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\)

좌표의 위치가 주어져야 식이 만들어집니다. 좌표의 위치가 주어지지 않았을 때에는 절댓값을 이용해야 하므로 공식유도가 되지 않습니다.

만약 위치가 반대인 경우 \(x_2 < x_1\)에는 공식유도가 어떻게 될까요?

\(\quad\)\(\mathrm{AP:BP}=m:n\)

\(\quad\)\((x_1-x):(x-x_2)=m:n\)

\(\quad\)\(m(x-x_2)=n(x_1-x)\)

\(\quad\)\((m+n)x=mx_2+nx_1\)

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\)

역시 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 이것은 실제 문제를 풀 때에는 좌표의 대소 관계에 관계없이 수직선 위에 좌표를 표시할 수 있다는 것을 의미합니다. 그러나, 선분 \(\mathrm{BA}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 점을 구할 때에는 반드시 점 \(\mathrm B\)로부터 \(m\)으로 내부된다는 점입니다. 반대로 그림을 그려서는 안 됩니다.

외분점

수직선 위의 두 점 \(\mathrm{A}(x_1), \mathrm B(x_2)\) (단, \(x_1<x_2\))를 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\; (m>0,n>0,m\neq n)\)으로 외분하는 점 \(\mathrm Q\)의 좌표는 다음과 같이 구해집니다.

먼저 \(m>n\)인 경우는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AQ:BQ}=m:n\)

\(\quad\)\((x-x_1):(x-x_2)=m:n\)

\(\quad\)\(m(x-x_2)=n(x-x_1)\)

\(\quad\)\((m-n)x=mx_2-nx_1\)

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}\)

마찬가지로 \(m<n\)에는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AQ:BQ}=m:n\)

\(\quad\)\((x_1-x):(x_2-x)=m:n\)

\(\quad\)\(m(x_2-x)=n(x_1-x)\)

\(\quad\)\((m-n)x=mx_2-nx_1\)

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}\)

그러므로 \(m, n\)의 대소 관계에 상관없이 공식을 적용할 수 있다는 것입니다.

기억해 둘 만한 것

내분점과 외분점은 식의 구성이 같습니다. 다만 중간의 부호가 +이면 내분점이고, -이면 외분점입니다. 실제 계산에서는 그리기 힘든 외분점의 그림을 그릴 필요가 없습니다. 내분점의 그림을 그린 후에 중간의 부호만 반대로 바꾸어서 외분점을 구할 수 있습니다.

그러나 역시 주의를 해야 할 점은 그림을 그릴 때 좌표 위치와 계산 순서입니다.

선분 \(\bigtriangleup\!\!\bigtriangledown\)를 \(m:n\)으로 내분(외분)하는 점이라고 표현될 때에는, 왼쪽에 \(\bigtriangleup\)의 좌표가 쓰고, 오른쪽에 \(\bigtriangledown\) 좌표를 씁니다. 선분 위에 분점을 찍고 앞쪽 부분에 \(m\)을 적고, 뒤쪽에 \(n\)을 적습니다. 즉, \(\bigtriangleup\)와 이 \(m\)연결되고, \(\bigtriangledown\)와  \(n\)이 연결되도록 그림이 그려져야 합니다. 또한 계산 시에는 \(m\)을 반드시 먼저 이용해서, \(m\)과 연결되지 않는 \(\bigtriangledown\)좌표와 곱해집니다.

응용예제

응용예제1

선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:2\)로 내분하는 점 \(\mathrm{P}\)와 \(3:1\)로 외분하는 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여 \(\mathrm{PQ}=36\)일 때, \(\mathrm{AB}\)의 길이는?

응용예제2

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A,B}\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}\)는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점이고 점 \(\mathrm{Q}\)는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(1:3\)으로 외분하는 점입니다. 이때, 점 \(\mathrm{A}\)는 선분 \(\mathrm{QP}\)를 \(m_1:n_1\)으로 내분하는 점이고, 점 \(\mathrm{B}\)는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m_2:n_2\)로 외분하는 점입니다. \(m_1+n_1+m_2+n_2\)의 값은? (단, \(m_1,n_1\) 및 \(m_2:n_2\)는 각각 서로소인 자연수입니다.)

응용예제3

선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{P}\)와 \(2:3\)으로 외분하는 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PQ}}=k\overline{\mathrm{AB}}\)일 때, 실수 \(k\)의 값은?