연속확률변수

수학적 확률에서, 길이 또는 넓이에 대한 확률은, 구간 안에서 확률변수가 연속적으로 변함으로써, 전체 길이 또는 넓이에 대한 해당하는 길이 또는 넓이로 기하학적 확률을 별도로 정의했습니다.

이산확률분포에서, 확률변수는 유한 개의 값을 가지므로, 확률분포표를 통해 평균과 분산을 정의했습니다.

반면에, 길이, 시간, 무게, 등과 같은 확률변수는 구간(정의역) 안에서 연속적으로 변함으로써, 해당하는 확률도 연속적으로 정의되어야 합니다.

이산확률변수에서는 확률변수가 가지는 값이 유한 개이고, 해당하는 확률의 매핑을 확률질량함수라는 용어를 사용했습니다. 반면에, 연속확률변수에서는 구간 안에 얼마나 많이 모여있는지를 나타내는 확률밀도함수라는 용어를 사용합니다.

확률질량함수는 선택된 확률변수의 하나의 확률 값을 지정하는 반면에, 확률밀도함수는 값의 특정 범위 내에 떨어질 확률을 지정하기 위해서 사용됩니다. 따라서, 확률은 주어진 구간에 대해 확률밀도함수를 적분함으로써 주어집니다.

일반적으로 연속확률변수 \(X\)의 확률밀도함수를 \(f(x)\)라고 할 때, \(f(x)\)는 다음과 같은 성질을 만족합니다.

확률밀도함수 \(y=f(x)\;(a \le x \le b)\)에 대하여

\(f(x) \ge 0\)
\(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)-축 및 두 직선 \(x=a,\;x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이는 1입니다.
\(P(\alpha \le X \le \beta)\)는 \(y=f(x)\)의 그래프는 \(x\)-축 및 두 직선 \(x=\alpha,\;x=\beta\)로 둘러싸인 부분의 넓이와 같습니다. (단, \(a \le \alpha \le \beta \le b\))

보통 확률밀도함수는 직선의 형태를 띠는데, 왜냐하면, 미적분학을 배우기 전에는 곡선과 \(x\)-축 사이의 넓이를 구할 수 없기 때문입니다.

만약, 미적분학을 배운 뒤에는, 확률밀도함수 \(y=f(x)\;(a \le x \le b)\)에 대하여

\(f(x) \ge 0\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=1\)
\(\displaystyle P(\alpha \le X \le \beta) = \int_\alpha^\beta f(x)dx\) (단, \(a \le \alpha \le \beta \le b\))

게다가, 연속함수변수의 기댓값과 분산은 다음과 같이 정의됩니다:

\(\quad\)\(\displaystyle E(X)= m = \int_a^b xf(x)dx\)

\(\quad\)\(\displaystyle V(x)=E\left((X-m)^2\right)= \int_a^b (x-m)^2 f(x)dx\)

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